Viên đạo ẩn
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | Vi phân hàm ẩn |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | Ẩn |
Khi bạn không thể giải ra $y$
- Đường tròn $x^2+y^2=25$ xác định $y$ ngầm định — bạn không thể viết nó dưới dạng một hàm $y=f(x)$ đơn lẻ.
- Tuy nhiên đường cong vẫn có độ dốc tại mỗi điểm. Làm thế nào để tìm $\tfrac{dy}{dx}$ mà không cần giải ra $y$?
- Mẹo: vi phân cả hai vế theo $x$, coi $y$ là một hàm ẩn của $x$.
- Đây là vi phân ngầm định.
Một phương trình như $x^2+y^2=25$ xác định $y$ ____, vì nó chưa được giải theo $y$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đó là lý do chúng ta dùng viên đạo ẩn.
Mọi hạng tử $y$ đều kích hoạt quy tắc chain
- Vì $y$ thực chất phụ thuộc vào $x$, việc lấy đạo hàm của một số hạng $y$ đòi hỏi quy tắc chuỗi.
- $\dfrac{d}{dx}[y^2]=2y\cdot\dfrac{dy}{dx}$ — phần extra $\tfrac{dy}{dx}$ chính là đạo hàm của hàm trong.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$ như thường lệ (không có $y$, không có thừa số extra).
- Vì vậy, mỗi lần vi phân một hạng tử chứa $y$, hãy gắn thêm một $\tfrac{dy}{dx}$.
Viên đạo theo $x$, $\dfrac{d}{dx}[y^2]=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Chain rule: $2y$ times đạo hàm bên trong $\tfrac{dy}{dx}$.
Giải ra $\tfrac{dy}{dx}$
- Sau khi vi phân, bạn sẽ thu được phương trình có $\tfrac{dy}{dx}$ nằm rải rác khắp nơi.
- Gom nhóm tất cả các hạng tử $\tfrac{dy}{dx}$ về một vế,everything else về vế kia.
- Đưa nhân tử chung $\tfrac{dy}{dx}$ ra và chia để cô lập nó.
- Kết quả thường phụ thuộc vào cả hai $x$ và $y$ — điều đó là bình thường đối với một đường cong.
Độ dốc tiếp tuyến trên một đường cong
y = √(25 − x²) (nửa trên của đường tròn)
Ngay cả đường cong bạn không giải được cho $y$ cũng có tiếp tuyến tại mỗi điểm — viên đạo ẩn tìm ra độ dốc đó.
Sắp xếp các bước viên đạo ẩn theo thứ tự.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Lấy đạo hàm, thu thập, giải, sau đó thay giá trị.
Tính giá trị tại một điểm
- Để có được độ dốc cụ thể, hãy thay một điểm $(x,y)$ nằm trên đường cong vào công thức $\tfrac{dy}{dx}$ của bạn.
- Đối với $x^2+y^2=25$: vi phân cho ta $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0$, nên $\tfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$.
- Tại $(3,4)$: độ dốc $=-\tfrac34$. Tại $(3,-4)$: độ dốc $=+\tfrac34$.
- Cùng một $x$ có thể cho ra các độ dốc khác nhau — vì đường cong có hai nhánh $y$.
Đối với $x^2+y^2=25$, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$. Tìm độ dốc tại $(3,4)$ (một số thập phân).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$-\tfrac{3}{4}=-0.75$.
Yếu tố $\tfrac{dy}{dx}$ được thêm vào mọi số hạng, kể cả số hạng thuần túy $x$ như $x^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Chỉ các số hạng chứa $y$ mới nhận yếu tố $\tfrac{dy}{dx}$.
Viên đạo $xy$ theo $x$ cho...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Quy tắc tích: $\frac{d}{dx}[xy]=1\cdot y+x\cdot\tfrac{dy}{dx}$.
Tỷ số chain-rule $\tfrac{dy}{dx}$ xuất hiện chỉ ở các hạng tử chứa $y$. $\frac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ (không có thừa số), nhưng $\frac{d}{dx}[y^3]=3y^2\tfrac{dy}{dx}$. Quên thừa số $\tfrac{dy}{dx}$ trên các hạng tử $y$ là sai lầm đặc trưng của vi phân ngầm định. Và một tích như $xy$ cần quy tắc tích: $\frac{d}{dx}[xy]=y+x\tfrac{dy}{dx}$.
Tìm $\tfrac{dy}{dx}$ cho $x^2+y^2=25$ tại điểm $(3,4)$.
- Vi phân: $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$.
- Giải: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x}{2y}=-\dfrac{x}{y}$.
- Tại $(3,4)$: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$ — độ dốc tiếp tuyến tại đó.
Vi phân ngầm định: vi phân cả hai vế theo $x$, coi $y$ là hàm của $x$ để mỗi hạng tử $y$ đều nhận thêm một $\tfrac{dy}{dx}$ (quy tắc chain); sau đó gom nhóm, đưa nhân tử chung, và giải ra $\tfrac{dy}{dx}$. Thay một điểm trên đường cong để có độ dốc. Câu trả lời thường phụ thuộc vào cả $x$ và $y$.