Quy tắc Chain (Chain Rule)
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | Hàm hợp |
| Chain Rule/tʃeɪn ruːl/ | Quy tắc chuỗi |
| outer/ˈaʊtə/ | Ngoài |
| inner/ˈɪnə/ | Trong |
Hàm bên trong hàm
- Đạo hàm của $(3x+1)^{5}$ là gì? Đó là một lũy thừa của một hàm số — một hàm hợp thành.
- Khai triển nó sẽ rất cực hình. Có sẵn một quy tắc được xây dựng đặc biệt cho việc này: Quy tắc Chain (Chain Rule).
- Một hàm hợp thành là "một hàm ngoài bao bọc lấy một hàm trong", giống như $f(g(x))$.
- Quy tắc Chain vi phân từng lớp một rồi nhân các kết quả với nhau.
Quy tắc
- Đối với $y=f(g(x))$:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f(g(x))\big]=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
- Bằng lời nói: đạo hàm của hàm ngoài (giữ nguyên hàm trong) nhân với đạo hàm của hàm trong.
- Phần nhỏ "$\cdot\, g'(x)$" chính là thứ mà mọi người hay quên — đó là toàn bộ ý nghĩa cốt lõi.
Một đường cong hợp thành
y = ax² + bx + c
Một hàm hợp như $(3x+1)^2$ dốc hơn đường bên trong đơn thuần — quy tắc chain nhân tốc độ bên trong vào.
Quy tắc Chain đưa ra $\dfrac{d}{dx}[f(g(x))]=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đạo hàm ngoài tại điểm bên trong, nhân với đạo hàm bên trong.
Phân biệt hàm ngoài và hàm trong
- Trước khi vi phân, hãy đặt tên cho hàm ngoài và hàm trong.
- Trong $(3x+1)^5$: hàm ngoài là "(cái gì đó)$^5$", hàm trong là $3x+1$.
- Đạo hàm hàm ngoài: $5(3x+1)^4$. Đạo hàm hàm trong: $3$.
- Nhân chúng lại: $\dfrac{d}{dx}[(3x+1)^5]=5(3x+1)^4\cdot 3=15(3x+1)^4$.
Đối với $y=(2x+1)^3$, tìm $y'$ tại $x=0$. (Chain rule: $3(2x+1)^2\cdot2$.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y'=6(2x+1)^2$; tại $0$: $6(1)=6$.
Đối với $\sqrt{x^2+1}=(x^2+1)^{1/2}$, chọn tất cả các xác định đúng.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Căn bậc hai là ngoài; $x^2+1$ là bên trong với đạo hàm $2x$.
Chain kết hợp với các quy tắc khác
- Quy tắc Chain có thể chồng lên mọi thứ: lũy thừa, tích, thương, và các đạo hàm cơ bản.
- $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]=\cos(x^2)\cdot 2x$ — hàm ngoài $\sin$, hàm trong $x^2$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
- Đối với các hàm lồng sâu, hãy gọt bỏ từng lớp một, nhân với đạo hàm của mỗi lớp trong khi đi xuống.
$\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]$ là gì?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ngoài $\cos(x^2)$ times đạo hàm bên trong $2x$.
Yếu tố thường bị quên nhất trong quy tắc chain là đạo hàm ____ $g'(x)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Bạn phải nhân với $g'(x)$ sau khi viên đạo phần ngoài.
$\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]$ là gì?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ngoài $e^{3x}$ times đạo hàm bên trong $3$.
Không bao giờ quên nhân với đạo hàm của hàm trong $g'(x)$. $\frac{d}{dx}[\sin(x^2)]$ là $\cos(x^2)\cdot 2x$, không phải chỉ $\cos(x^2)$. Việc bỏ sót "$\cdot\,g'(x)$" là sai lầm phổ biến nhất trong vi phân — nếu chỉ tính đạo hàm hàm ngoài thì chỉ mới là một nửa câu trả lời.
Vi phân $y=\sqrt{x^2+1}$.
- Viết lại: $y=(x^2+1)^{1/2}$. Hàm ngoài: $(\ )^{1/2}$; hàm trong: $x^2+1$.
- Đạo hàm hàm ngoài: $\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}$. Đạo hàm hàm trong: $2x$.
- $y'=\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Quy tắc Chain vi phân một hàm hợp thành: $\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$ — đạo hàm của hàm ngoài (hàm trong không thay đổi) nhân với đạo hàm của hàm trong. Xác định các lớp trước, và đừng bao giờ bỏ sót thừa số $\cdot\,g'(x)$. Nó kết hợp với mọi quy tắc khác cho các biểu thức lồng nhau.