Quy tắc Thương
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| Quotient Rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | Quy tắc thương |
| rational expression/ˈræʃənl ekˈspreʃn/ | Biểu thức hữu tỉ |
Chia các hàm số cần cẩn trọng
- Cũng giống như tích cần Quy tắc tích, thương cần Quy tắc thương.
- Bạn không thể đạo hàm riêng phần tử trên và phần dưới rồi chia —那样是错误的。
- Quy tắc xử lý một biểu thức hữu tỉ $\dfrac{f}{g}$ gồm hai hàm số.
- Tử số của nó có phép trừ, nên thứ tự và dấu rất quan trọng.
Quy tắc
-
$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}}$$
- Phần tử trên: "đạo hàm của tử số nhân với mẫu số, trừ tử số nhân với đạo hàm của mẫu số."
- Phần tử dưới: mẫu số ban đầu, bình phương.
- Mẹo ghi nhớ: "thấp d-trên trừ trên d-thấp, chia cho bình phương thấp."
Tử số của Quy tắc Thương cho $\dfrac{f}{g}$ là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tử số là $f'g-fg'$, trên $g^2$.
Trong Quy tắc Thương, mẫu số của kết quả là $g$ ____ (mũ bao nhiêu?).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mẫu số là $g^2$.
Chọn tất cả các phát biểu đúng về Quy tắc Thương.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$g^2\ge0$ luôn dương, nên không bao giờ đảo dấu.
Thứ tự là tất cả
- Tử số là $f'g - fg'$, không phải $fg' - f'g$ — đảo ngược chúng sẽ đảo ngược mọi dấu.
- Luôn viết hạng tử $f'g$ trước; điều này cố định thứ tự và tránh lỗi dấu.
- Mẫu số $g^2$ luôn dương, vì vậy nó không bao giờ làm thay đổi dấu của kết quả.
- Giữ nguyên các mảnh được gắn nhãn: $f,f',g,g'$ trước khi lắp ráp.
Một đường cong hữu tỉ cần viên đạo
y = a / (x − b)
Một thương như $\dfrac{x^2}{x+1}$ có độ dốc mà Quy tắc Thương tính toán — lưu ý đường tiệm cận đứng nơi mẫu bằng không.
Viết tử số dưới dạng $fg' - f'g$ (lật ngược) cho cùng kết quả.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Lật ngược thứ tự làm đảo dấu toàn bộ tử số — lỗi dấu.
Vi phân $y=\dfrac{x}{x+1}$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{(1)(x+1)-x(1)}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
Đôi khi tích lại dễ hơn
- Một thương $\dfrac{f}{g}$ có thể viết lại thành tích $f\cdot g^{-1}$ và giải bằng Quy tắc tích + Quy tắc lũy thừa.
- Với mẫu số đơn giản, cách này có thể nhanh hơn: $\dfrac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$.
- Nhưng đối với thương thực sự giữa hai hàm số như $\dfrac{\sin x}{x}$, Quy tắc thương là con đường gọn gàng nhất.
- Chọn cách nào tránh được đại số phức tạp nhất.
Thương $\dfrac{x}{x^2}$ được viên đạo nhanh nhất bằng cách...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$ — đơn giản hơn Quy tắc Thương ở đây.
Tử số của Quy tắc thương là $f'g - fg'$ — thứ tự và dấu trừ chính là toàn bộ độ khó. Viết $fg' - f'g$ (đảo ngược) sẽ làm sai dấu kết quả. Và đừng quên bình phương mẫu số. Cả hai lỗi đều cực kỳ phổ biến dưới áp lực thời gian.
Vi phân $y=\dfrac{x^2}{x+1}$.
- $f=x^2\Rightarrow f'=2x$; $\quad g=x+1\Rightarrow g'=1$.
- $y'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}=\dfrac{2x(x+1)-x^2(1)}{(x+1)^2}$.
- $=\dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$.
Quy tắc thương: $\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$ — "thấp d-trên trừ trên d-thấp, chia cho bình phương thấp." Giữ nguyên thứ tự của tử số ($f'g$ đứng trước) và bình phương mẫu số. Đối với các trường hợp đơn giản, viết lại thành tích $f g^{-1}$ có thể dễ hơn.