Xác nhận Tính liên tục trên Một Khoảng
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| interval/ˈɪntəvl/ | khoảng |
| domains/dəˈmeɪnz/ | miền xác định |
Từ một điểm đến một khoảng
- Tính liên tục tại một điểm đơn lẻ thì tốt; tuy nhiên thông thường chúng ta muốn tính liên tục trên một khoảng.
- Một hàm được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm nằm bên trong khoảng đó.
- Đó chính là lý do bạn có thể vẽ toàn bộ đoạn đường mà không cần nhấc bút khỏi mặt giấy.
- Hai điểm tinh tế: cách xử lý các điểm đầu mút, và những hàm quen thuộc nào tự động liên tục.
Liên tục xuyên suốt toàn bộ vùng hiển thị
y = ax³ + bx
Đa thức liên tục trên mọi khoảng — không có lỗ hổng, bước nhảy hay sự phóng to vô cực ở bất kỳ đâu bạn nhìn.
Khoảng mở và khoảng đóng
- Trên một khoảng mở $(a,b)$: kiểm tra ba điều kiện liên tục tại mọi điểm bên trong.
- Trên một khoảng đóng $[a,b]$: cần xử lý thêm các điểm đầu mút, nơi mà bạn chỉ có thể tiến lại từ một phía.
- Tại đầu mút trái $a$, yêu cầu liên tục bên phải: $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$.
- Tại đầu mút phải $b$, yêu cầu liên tục bên trái: $\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)$.
Tại đầu mút trái $a$ của khoảng đóng $[a,b]$, tính liên tục yêu cầu...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Bạn chỉ có thể tiếp cận đầu mút trái từ phía bên phải, nên yêu cầu liên tục bên phải.
Đối với $f(x)=\sqrt x$ trên $[0,9]$, việc kiểm tra liên tục bên trái tại đầu mút phải cần $\lim_{x\to9^-}\sqrt x$. Giá trị đó là bao nhiêu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\sqrt 9 = 3$, bằng với $f(9)$, nên $f$ liên tục bên trái tại đó.
Những hàm có sẵn "liên tục"
- Trong miền xác định tự nhiên của chúng, các họ hàm này liên tục tại mọi nơi:
- Đa thức — liên tục với mọi số thực $x$.
- Các hàm hữu tỉ, lũy thừa, logarit và lượng giác — liên tục tại mọi nơi chúng được xác định.
- Vì vậy, một hàm hữu tỉ liên tục trừ tại những điểm mẫu số bằng không; $\ln x$ liên tục với $x>0$.
Hàm số nào liên tục đối với tất cả $x$ thực?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đa thức liên tục trên khắp nơi; các hàm còn lại có khoảng trống tập xác định.
Chọn tất cả họ hàm có tính liên tục trên toàn bộ tập xác định tự nhiên của chúng.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Cả bốn đều liên tục trong toàn bộ tập xác định của chúng — tập xác định chỉ loại bỏ các điểm gây khó khăn (ví dụ: hàm hữu tỉ tại nghiệm của mẫu số).
Tại sao điều này quan trọng: nó mở khóa các định lý
- Tính liên tục trên một khoảng đóng là vé vào cửa để tiếp cận các định lý lớn sắp tới.
- Định lý Giá trị Trung gian (1.16) và Định lý Giá trị Cực trị (Đơn vị 5) đều yêu cầu tính liên tục trên $[a,b]$.
- Bỏ qua việc kiểm tra tính liên tục thì các định lý đó hoàn toàn không áp dụng được — đây là một bẫy phổ biến trong các bài thi.
- Vì vậy, việc xác nhận tính liên tục trên một khoảng không phải là công việc vô nghĩa; nó chính là giả thuyết nền tảng mà tất cả các kết quả khác dựa vào.
$f(x)=\dfrac1x$ liên tục trên khoảng $[-1,1]$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$0\in[-1,1]$ và $f$ bị phóng to vô cực tại đó, nên nó không liên tục trên khoảng đó.
Tính liên tục trên khoảng đóng là giả thuyết bắt buộc của Định lý Giá trị Trung bình ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Định lý IVT (và Định lý Giá trị Cực trị) yêu cầu tính liên tục trên $[a,b]$.
"Liên tục trên miền xác định" không đồng nghĩa với "liên tục tại mọi nơi." Hàm $f(x)=\dfrac1x$ liên tục trên miền xác định của nó (tất cả $x\neq0$), nhưng nó không liên tục trên $[-1,1]$ vì $0$ nằm trong khoảng đó và $f$ tiến tới vô cùng tại đó. Luôn hãy đảm bảo rằng khoảng xét tránh được các điểm gây ra vấn đề.
Hàm $f(x)=\sqrt{x}$ có liên tục trên $[0,4]$?
- Điểm bên trong $(0,4)$: $\sqrt x$ là liên tục (một hàm tiêu chuẩn trên miền xác định của nó). ✓
- Đầu mút trái $0$: $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\sqrt x=0=f(0)$ — liên tục bên phải. ✓
- Đầu mút phải $4$: $\displaystyle\lim_{x\to4^-}\sqrt x=2=f(4)$ — liên tục bên trái. ✓
- Do đó, $f$ liên tục trên khoảng đóng $[0,4]$.
Hàm $f$ liên tục trên một khoảng khi nó liên tục tại mọi điểm bên trong, sử dụng tính liên tục một phía tại các điểm đầu mút của khoảng đóng. Các hàm đa thức, hữu tỉ, lũy thừa, logarit và lượng giác liên tục trên miền xác định của chúng. Tính liên tục theo khoảng này chính là giả thuyết mà Định lý Giá trị Trung gian (IVT) và Định lý Giá trị Cực trị (EVT) phụ thuộc vào.