Xác định Tính liên tục tại một Điểm
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | liên tục |
"Vẽ nó mà không nhấc bút"
- Theo trực giác, một hàm số là liên tục tại $c$ nếu đồ thị của nó không bị đứt đoạn tại đó — không có lỗ hổng, không có跳跃, không có sự bùng nổ.
- Nhưng "không bị đứt đoạn" cần một bài kiểm tra chính xác mà bạn có thể kiểm tra, chứ không chỉ nhìn bằng mắt thường.
- Giải tích quy định nó thành ba điều kiện, tất cả đều liên quan đến điểm $c$.
- Đi qua cả ba điểm và đường cong sẽ chảy mượt mà qua $\big(c, f(c)\big)$.
Đường cong không bị đứt đoạn
y = ax² + bx + c
Đa thức này thỏa mãn cả ba điều kiện liên tục tại mọi điểm — xác định, giới hạn tồn tại, và hai giá trị bằng nhau.
Ba điều kiện
- (1) $f(c)$ được xác định — điểm đó thực sự tồn tại (không có lỗ hổng).
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ tồn tại — cả hai giới hạn một phía đồng ý (không có跳跃, không có sự bùng nổ).
- (3) Chúng bằng nhau: $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ — đường cong đến đúng nơi điểm nằm.
- Cả ba phải thỏa mãn. Tính liên tục tại $c$ chính xác là điều kiện (1) + (2) + (3).
Chọn tất cả các điều kiện cần thiết để $f$ liên tục tại $c$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Ba điều kiện là xác định, giới hạn tồn tại và bằng nhau. Việc là đa thức không bắt buộc.
Điều kiện liên tục thứ ba nói rằng giới hạn phải ____ giá trị hàm $f(c)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$.
Vi phạm bất kỳ điều kiện nào → điểm gián đoạn
- Vi phạm (1): điểm bị thiếu — một lỗ hổng ngay cả khi giới hạn tồn tại.
- Vi phạm (2): hai bên không đồng ý hoặc hàm số bùng nổ — một sự断裂跳跃 hoặc vô cực.
- Vi phạm (3): cả hai đều tồn tại nhưng chấm dot trôi nổi khỏi đường cong — một lỗ hổng khả triệt tiêu được vẽ ở nơi khác.
- Mỗi sự vi phạm tương ứng với một loại điểm gián đoạn từ bài học trước.
Nếu $f(c)=1$ và $\lim_{x\to c}f(x)=4$, thì tại $c$ hàm số là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Cả hai đều tồn tại nhưng không bằng nhau — điều kiện 3 thất bại, nên $f$ là gián đoạn (một lỗ hổng có thể loại bỏ).
Kiểm tra một điểm cụ thể
- Thay số: liệu $f(c)$ có phải là số thực không? (Điều kiện 1.)
- Lấy giới hạn từ cả hai phía: chúng có đồng ý về một giá trị $L$ không? (Điều kiện 2.)
- So sánh: liệu $L=f(c)$ có bằng nhau không? (Điều kiện 3.)
- Chỉ có "có, có, có" mới xứng đáng với nhãn liên tục tại $c$.
Việc chỉ biết $f(c)$ được xác định là đủ để kết luận $f$ liên tục tại $c$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Bạn cũng cần giới hạn tồn tại và bằng với $f(c)$.
Đối với $f(x)=x^2+1$, liệu $f$ có liên tục tại $x=2$ không?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Cả ba điều kiện đều thỏa mãn, nên $f$ liên tục tại $2$ (đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực).
Để $f$ liên tục tại $x=1$, ta cần $\lim_{x\to1}f(x)=f(1)$. Nếu $\lim_{x\to1}f(x)=7$, thì $f(1)$ phải bằng bao nhiêu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Điều kiện 3 buộc $f(1)=7$.
Cả ba điều kiện đều cần thiết — chỉ kiểm tra rằng $f(c)$ tồn tại, hoặc chỉ kiểm tra rằng giới hạn tồn tại, là chưa đủ. Một hàm có thể có $f(c)=1$ và $\lim_{x\to c}f(x)=4$ hoàn toàn tốt, nhưng vẫn không liên tục vì $1\neq4$ (điều kiện 3 không thỏa mãn).
Hàm $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1},&x\neq1\\[4pt]3,&x=1\end{cases}$ có liên tục tại $x=1$?
- (1) $f(1)=3$ — xác định. ✓
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$ — tồn tại. ✓
- (3) $2 \neq 3$ — không bằng nhau. ✗
- Điều kiện (3) không thỏa mãn, nên $f$ không liên tục tại $1$ (một lỗ hổng có thể loại bỏ được với điểm được vẽ ở độ cao $3$).
Hàm $f$ liên tục tại $c$ khi và chỉ khi ba điều sau đây cùng đúng: $f(c)$ xác định, $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ tồn tại, và hai giá trị này bằng nhau. Nếu thiếu bất kỳ điều kiện nào, ta sẽ có sự gián đoạn — điều kiện vi phạm cho biết loại gián đoạn đó.