Xác Định Giới Hạn Bằng Biến Đổi Đại Số
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | tương đương |
| factoring/ˈfæktərɪŋ/ | phân tích nhân tử |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | liên hợp |
$\tfrac00$ là cánh cửa khóa — đại số là chìa khóa
- Thay thế trực tiếp vừa đưa bạn đến $\dfrac00$. Đừng bỏ cuộc — hãy biến đổi hàm trước.
- Mẹo: tìm một biểu thức tương đương trùng khớp với biểu thức gốc ở mọi nơi ngoại trừ điểm gây trở ngại.
- Vì giới hạn bỏ qua điểm duy nhất $x=c$, biểu thức đã biến đổi có giới hạn giống nhau.
- Ba công cụ làm hầu hết công việc: phân tích nhân tử, trừ căn và kết hợp phân số.
Biến đổi đại số thay thế hàm số ban đầu bằng một hàm số ____ phù hợp ở mọi nơi trừ điểm đã loại bỏ.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Cùng các giá trị ngoài lỗ hổng nghĩa là cùng giới hạn.
Công cụ 1 — phân tích nhân tử và triệt tiêu
- Một $\tfrac00$ trong hàm hữu tỉ có nghĩa là $(x-c)$ chia hết cho cả tử và mẫu.
- Sử dụng phân tích nhân tử trên từng cái, triệt tiêu $(x-c)$ chung, sau đó thay thế.
- $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)=6$.
- Biểu thức sau khi triệt tiêu giống hệt biểu thức gốc đối với mọi $x\neq 3$ — chính xác tại nơi giới hạn nằm.
Đường cong trơn tru ngoại trừ tại lỗ hổng
y = x + 3 (từ việc rút gọn (x−3))
Sau khi phân tích và rút gọn, đồ thị trở thành đường cong thông thường với một điểm bị thiếu duy nhất — giới hạn đọc được từ khoảng trống đó.
Tính $\displaystyle\lim_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Phân tích: $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4\to 8$.
Công cụ 2 — trừ căn
- Khi căn bậc hai gây ra $\tfrac00$, hãy nhân cả tử và mẫu với liên hợp.
- Cách này loại bỏ căn và lộ ra một nhân tử có thể triệt tiêu.
- $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac14$.
Giới hạn $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x}$ được xử lý tốt nhất bằng cách...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Căn thức gây ra $\tfrac00$ đòi hỏi lượng liên hợp; ở đây giới hạn là $\tfrac16$.
Tính $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Trục căn thức để đưa về $\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}\to\frac{1}{4}$.
Công cụ 3 — kết hợp phân số
- Một hiệu của phân số như $\dfrac{1}{x+2}-\dfrac12$ trên $x$ ẩn chứa một nhân tử khi bạn dùng mẫu số chung.
- Kết hợp thành một phân số duy nhất, rút gọn, và $(x-c)$ sẽ triệt tiêu.
- Sau bất kỳ bước nào trong số này, hoàn tất bằng thay thế trực tiếp — cánh cửa giờ đã mở khóa.
- Dù dùng công cụ nào, bạn đều đang tạo ra một hàm tương đương giúp thay thế thành công.
Chọn tất cả các công cụ đại số có thể giải quyết giới hạn $\tfrac00$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Ba phương pháp đầu tiên là phép viết lại hợp lệ; làm tròn không phải là kỹ thuật hợp lệ.
Triệt tiêu $(x-c)$ thay đổi hàm tại đúng một điểm: biểu thức đã biến đổi xác định tại $c$ trong khi biểu thức gốc có lỗ hổng ở đó. Điều đó chấp nhận được đối với giới hạn (vì giới hạn bao giờ cũng không nhìn vào $x=c$), nhưng đừng nói hai hàm giống hệt nhau — chúng khác nhau tại điểm bị loại bỏ.
Sau khi rút $(x-3)$, hàm số đơn giản hóa hoàn toàn giống với hàm gốc tại mọi điểm bao gồm cả $x=3$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Chúng đồng nhất ở mọi nơi trừ $x=3$, nơi hàm gốc có một lỗ hổng. Giới hạn không bị ảnh hưởng, nhưng hai hàm số khác nhau tại đó.
Tìm $\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x^2+3x+2}$.
- Thay thế cho ra $\tfrac00$ — hãy phân tích cả hai.
- $\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{x-1}{x+2}$ cho $x\neq -1$.
- Thay thế: $\dfrac{-1-1}{-1+2}=\dfrac{-2}{1}=-2$.
Khi thay thế cho ra $\tfrac00$, hãy biến đổi hàm thành một dạng tương đương trùng khớp ở mọi nơi ngoại trừ tại $c$: phân tích nhân tử và triệt tiêu, trừ căn bằng liên hợp, hoặc kết hợp phân số. Sau đó thay thế. Biểu thức đã biến đổi có cùng giới hạn vì giới hạn bỏ qua điểm bị loại bỏ duy nhất.