Ước lượng Giá trị Giới hạn từ Đồ thị
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/ | giới hạn trái |
| right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/ | giới hạn phải |
| hole/həʊl/ | lỗ hổng |
| jump/dʒʌmp/ | bật nhảy |
| unbounded/ʌnˈbaʊndɪd/ | không bị chặn |
| oscillation/ˌɒsɪˈleɪʃn/ | dao động |
Đọc giới hạn trực tiếp từ hình ảnh
- Với một đồ thị, bạn thường có thể thấy một giới hạn mà không cần bất kỳ đại số nào.
- Đặt ngón tay của bạn lên đường cong hơi lệch về phía trái $x=c$ và di chuyển nó về phía $c$: bạn đang tiến tới độ cao nào?
- Làm tương tự từ phía bên phải. Nếu cả hai ngón tay đều hướng về cùng một độ cao, độ cao đó chính là giới hạn.
- Mẹo: hãy chú ý xem đường cong đang đi đến đâu, và bỏ qua bất kỳ chấm đơn lẻ nào được vẽ tại $x=c$.
Vẽ theo đường cong tiến về một điểm
y = ax² + bx + c
Trượt về phía một giá trị đầu vào từ bên trái và bên phải — giới hạn là độ cao chung mà đường cong tiến tới, bất kể một chấm đơn lẻ nói gì.
Để đọc $\lim_{x\to c} f(x)$ từ đồ thị, bạn nên nhìn vào...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Giới hạn là độ cao chung được tiến tới từ cả hai phía — chấm tại $c$ là không quan trọng.
Trái và phải, đọc riêng biệt
- Di chuyển chỉ từ phía trái → giới hạn trái $\displaystyle\lim_{x\to c^-}f(x)$.
- Di chuyển chỉ từ phía phải → giới hạn phải $\displaystyle\lim_{x\to c^+}f(x)$.
- Trên đồ thị, một chấm đầy ● nghĩa là điểm nằm trên đường cong; một chấm rỗng ○ (một lỗ) nghĩa là nó không nằm trên đường cong.
- Giới hạn không quan tâm liệu chấm đó có đầy hay rỗng — nó chỉ quan tâm đến sự tiến lại gần.
Một đồ thị tăng dần đều và, ngay bên trái $x=5$, đường cong đang đi qua các độ cao $2.9, 2.99, 2.999$. Ước lượng $\lim_{x\to 5^-} f(x)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Các giá trị bên trái hội tụ về $3$, nên giới hạn trái là $3$.
Khi giới hạn không tồn tại
- Ba dạng đồ thị cổ điển khiến giới hạn thất bại (DNE):
- Một sự bứt: hai bên di chuyển đến các độ cao khác nhau.
- Một sự bùng nổ vô hạn: đường cong lao vọt lên $\pm\infty$ gần một đường tiệm cận đứng.
- Một dao động: đường cong rung lắc cực nhanh (như $\sin\frac1x$) và không bao giờ ổn định.
Nếu phía trái của đồ thị tiến tới $2$ và phía phải tiến tới $6$, giới hạn không tồn tại vì một ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Các độ cao một phía khác nhau có nghĩa là một nhảy gián đoạn, nên giới hạn hai phía là không tồn tại.
Từ đồ thị, chọn tất cả các đặc điểm khiến $\lim_{x\to c} f(x)$ không tồn tại.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Sự bùng nổ, nhảy và dao động đều tiêu diệt một giới hạn. Lỗ có thể loại bỏ không — cả hai phía vẫn đồng ý.
Chấm tại $c$ là mồi nhử
- Độ cao mà đường cong hướng tới, $\lim_{x\to c}f(x)$, là một câu hỏi riêng biệt so với giá trị đã vẽ $f(c)$.
- Đường cong có thể tiến mượt mà về phía $4$ trong khi một chấm đơn lẻ ngồi tại $f(c)=1$ — giới hạn vẫn là $4$.
- $f(c)$ thậm chí có thể không xác định (một lỗ) trong khi giới hạn vẫn tồn tại.
- Vì vậy, luôn trả lời hai câu hỏi riêng biệt: đường cong đang đi đến đâu? và có một chấm, và nó ở đâu?
Nếu đồ thị hiển thị một lỗ trống rỗng tại $(2,4)$ và một chấm đặc tại $(2,1)$, thì $\lim_{x\to 2} f(x) = 4$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đường cong tiến tới độ cao $4$ từ cả hai phía, nên giới hạn là $4$; chấm đặc chỉ là $f(2)=1$.
Một đường cong mượt mà đi qua độ cao $7$ tại $x=3$ với không có lỗ hay chấm nào khác. Vậy $f(3)$ và $\lim_{x\to 3} f(x)$ là gì?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Không có lỗ hay跳跃, đường cong liên tục tại đó, nên giới hạn $= f(3) = 7$.
Một cái bẫy phổ biến: đọc $f(c)$ (chấm đã vẽ) khi câu hỏi yêu cầu $\lim_{x\to c}f(x)$ (sự tiến lại gần). Chúng khác nhau. Nếu bạn thấy một chấm đầy nổi trên một đường cong trơn tru, giới hạn là độ cao của đường cong — không phải của chấm đó.
Từ một đồ thị: gần $x=2$ đường cong tăng lên một lỗ ở độ cao $4$, và một chấm đầy được vẽ tại $(2,\,1)$.
- Giới hạn trái: tiến tới $4$. Giới hạn phải: tiến tới $4$.
- Cả hai đều đồng thuận, nên $\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x) = 4$.
- Nhưng $f(2) = 1$ (điểm đầy đủ). Giới hạn $\neq$ giá trị hàm tại đây.
Để đọc giới hạn từ đồ thị, hãy di chuyển đường cong về phía $c$ từ cả hai phía và hỏi bạn đang tiến tới độ cao nào; chấm đã vẽ tại $c$ là một mồi nhử. Giới hạn là DNE khi hai phía đưa ra các độ cao khác nhau (bứt), đường cong vô hạn, hoặc nó dao động mãi mãi.