Năng lượng trong chuyển động điều hòa
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | Cân bằng |
| damping/ˈdæmpɪŋ/ | Tắt dần |
Năng lượng phân bố ở đâu tại điểm cao nhất của cung dao động
- Tại điểm cao nhất của cung dao động, bạn tạm thời đứng yên hoàn toàn. Động năng của bạn bằng đúng không.
- Một lát sau, bạn di chuyển nhanh hơn bất kỳ điểm nào khác trên cung. Không ai đẩy bạn; năng lượng chưa bao giờ mất đi.
- Nó nằm trong kho thế năng, và ngay lập tức được giải phóng trở lại. Dao động chính là sự trao đổi này, lặp lại cho đến khi ma sát làm giảm dần.
- Bài học này nói về năng lượng của bộ dao động: cách nó trao đổi, tại sao tổng năng lượng không đổi, và tại sao tổng năng lượng phụ thuộc vào bình phương của biên độ.
Sự trao đổi
- Tại vị trí cân bằng, vận tốc đạt cực đại, do đó động năng đạt cực đại và thế năng đạt cực tiểu.
- Tại các điểm biên, bộ dao động tạm dừng lại, nên động năng bằng không và thế năng đạt cực đại.
- Ở giữa hai điểm này, hai dạng năng lượng liên tục trao đổi. Sự trao đổi diễn ra hai lần trong mỗi chu kỳ đầy đủ, vì bộ dao động đi qua tâm hai lần.
Hai đường cong lệch pha nhau, cùng với một đường nằm ngang phía trên chúng
Động năng của bộ dao động lớn nhất:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tốc độ lớn nhất ở giữa, nên KE đạt đỉnh ở đó trong khi PE ở mức thấp nhất.
Tại các điểm biên của chuyển động, toàn bộ năng lượng là thế năng.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Bộ dao động tạm thời đứng yên ở đó, nên KE = 0 và toàn bộ năng lượng là thế năng.
Tổng năng lượng không đổi
- Khi không có lực cản (damping), không có lực cản nào lấy đi năng lượng, tổng năng lượng sẽ không đổi. Đây là định luật bảo toàn năng lượng áp dụng cho bộ dao động.
- Nơi dễ dàng nhất để tính toán tổng năng lượng là ở trung tâm, nơi toàn bộ năng lượng đều là động năng và vận tốc là $\omega x_0$:
- Trên đồ thị theo độ dịch chuyển, động năng là một parabol hướng xuống, thế năng là một parabol hướng lên, và tổng của chúng là một đường nằm ngang.
Hai parabol cộng lại tạo thành một hằng số tại mọi độ dịch chuyển
Năng lượng trong CHD
KE + PE = hằng số
Năng lượng trao đổi giữa động năng (nhanh nhất ở trung tâm) và thế năng (lớn nhất ở các điểm biên).
Không có sự cản trở, tổng năng lượng của bộ dao động được bảo toàn.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Năng lượng chỉ trao đổi giữa KE và PE; tổng của chúng được bảo toàn.
Năng lượng và biên độ
- Vì $E = \tfrac12 m\omega^2 x_0^2$, tổng năng lượng tỷ lệ thuận với bình phương của biên độ.
- Gấp đôi biên độ thì năng lượng tăng bốn lần. Gấp ba lần và năng lượng tăng chín lần.
- Đây là mối quan hệ mà đề thi kiểm tra thường xuyên nhất, và trả lời "gấp đôi" khi biên độ tăng gấp đôi là lỗi sai phổ biến nhất trong chủ đề này.
Nếu biên độ tăng gấp đôi, tổng năng lượng của một dao động trở thành:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$E \propto x_0^{2}$, vì vậy nhân đôi $x_0$ sẽ cho $2^{2} = 4$ lần năng lượng.
Biên độ của một dao động không tắt dần được nhân đôi. Tổng năng lượng của nó sẽ thay đổi như thế nào?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
E tỷ lệ thuận với bình phương của biên độ, từ E = m omega^2 x0^2 / 2. Trả lời "gấp đôi" là lỗi sai phổ biến nhất trong chủ đề này.
Ví dụ minh họa: Tìm tổng năng lượng
- Một bộ dao động có khối lượng $0.20\ \text{kg}$, tần số góc $10\ \text{rad/s}$ và biên độ $0.050\ \text{m}$. Hãy tìm tổng năng lượng và động năng của nó tại độ dịch chuyển $0.030\ \text{m}$.
- Tổng: $E = \tfrac12 m \omega^2 x_0^2 = \tfrac12 \times 0.20 \times 10^2 \times 0.050^2 = 0.025\ \text{J}$.
- Tại $x = 0.030\ \text{m}$: $v = \omega\sqrt{x_0^2 - x^2} = 10\sqrt{0.050^2 - 0.030^2} = 0.40\ \text{m/s}$, nên $E_{\text{k}} = \tfrac12 \times 0.20 \times 0.40^2 = 0.016\ \text{J}$.
- Thế năng tại đó là hiệu số, $0.025 - 0.016 = 0.009\ \text{J}$. Sử dụng tổng năng lượng không đổi để tìm năng lượng thứ hai nhanh hơn và an toàn hơn so với việc dùng công thức riêng biệt.
Một dao động có $m = 0.20\ \text{kg}$, $\omega = 10\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ và biên độ $0.10\ \text{m}$. Tổng năng lượng của nó là bao nhiêu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_0^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0.20 \times 10^{2} \times 0.10^{2} = 0.10\ \text{J}$.
Một dao động có khối lượng 0,20 kg, omega = 10 rad/s và biên độ 0,050 m. Tổng năng lượng của nó là bao nhiêu, tính bằng joule?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
E = m omega^2 x0^2 / 2 = 0,20 x 100 x 0,0025 / 2 = 0,025 J. Tính toán tại tâm, nơi toàn bộ năng lượng là động năng, là cách nhanh nhất.
Nếu tổng năng lượng là 0,025 J và động năng tại một độ dịch chuyển nào đó là 0,016 J, thì thế năng tại đó là ____ J.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tổng năng lượng không đổi, nên thế năng đơn giản bằng tổng trừ đi động năng. Phép trừ này nhanh hơn và an toàn hơn so với việc dùng công thức riêng biệt.
Ví dụ minh họa: Đọc các đồ thị năng lượng
- Vẽ sơ đồ cách động năng, thế năng và tổng năng lượng của một bộ dao động không bị cản thay đổi theo độ dịch chuyển.
- Động năng: cực đại tại $x = 0$, giảm xuống bằng không tại $x = \pm x_0$, là một parabol hướng xuống.
- Thế năng: bằng không tại $x = 0$, tăng lên cực đại tại $x = \pm x_0$, là một parabol hướng lên, và là hình ảnh phản chiếu của đường cong đầu tiên.
- Tổng: là một đường nằm ngang ở giá trị của cực đại, vì hai đường cong luôn cộng lại bằng cùng một lượng.
- Theo thời gian thay vì độ dịch chuyển, cả hai đường cong vẫn mang hình dạng parabol về mặt năng lượng nhưng nay dao động với tần số gấp đôi của độ dịch chuyển, vì năng lượng đạt đỉnh hai lần mỗi chu kỳ.
Nối mỗi mức năng lượng của một dao động không tắt dần với đồ thị tương ứng theo độ dịch chuyển.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Hai đường parabol đối xứng nhau, do đó chúng cộng lại tạo ra cùng một giá trị tại mọi độ dịch chuyển. Đường thẳng nằm ngang đó chính là biểu diễn của sự bảo toàn năng lượng.
Khi vẽ theo thời gian, động năng của một dao động lặp lại ở tần số gấp đôi độ dịch chuyển.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Dao động đi qua tâm hai lần mỗi chu kỳ, nên động năng đạt cực đại hai lần mỗi chu kỳ trong khi độ dịch chuyển chỉ đạt cực đại một lần.
Đồ thị năng lượng theo thời gian có tần số gấp đôi
- Vẽ độ dịch chuyển theo thời gian, bạn sẽ thấy một chu kỳ trong mỗi chu kỳ. Vẽ động năng theo thời gian, bạn sẽ thấy hai chu kỳ.
- Lý do là bình phương. Động năng phụ thuộc vào $v^2$, và $v$ đi qua giá trị tuyệt đối cực đại hai lần trong mỗi chu kỳ, một lần theo mỗi chiều.
- Vì vậy, cả hai đường cong năng lượng đều đạt hai cực đại mỗi chu kỳ dao động, và tần số của chúng gấp đôi tần số của độ dịch chuyển.
- Hai đường cong là hình ảnh phản chiếu chính xác của nhau qua đường nằm ngang ở mức một nửa tổng năng lượng, và tổng của chúng là một đường nằm ngang tại tổng năng lượng.
- Một câu hỏi vẽ sơ đồ ở đây được chấm dựa trên ba yếu tố: tần số gấp đôi, hai đường cong lệch pha nhau đúng một nửa chu kỳ của chúng, và đường tổng nằm ngang.
Động năng của một dao động biến thiên ở tần số gấp đôi độ dịch chuyển của nó.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
KE phụ thuộc vào v bình phương, và vận tốc đạt cực đại hai lần mỗi chu kỳ, một lần theo mỗi chiều. Thế năng cũng làm tương tự, và cả hai cộng lại tạo thành một đường thẳng nằm ngang.
Điểm số dễ mất
- Năng lượng tỷ lệ thuận với biên độ bình phương. Gấp đôi biên độ sẽ cho bốn lần năng lượng, chứ không phải gấp đôi.
- Động năng đạt cực đại ở trung tâm, thế năng ở hai đầu. Đừng hoán đổi chúng.
- Theo thời gian, các đường cong năng lượng lặp lại với tần số gấp đôi so với độ dịch chuyển, vì có hai đỉnh năng lượng mỗi chu kỳ dao động.
- Tổng năng lượng chỉ không đổi khi không có lực cản. Hãy nêu rõ điều này khi đề bài nhắc đến các lực cản.
Bạn đã nắm vững
- động năng đạt cực đại ở trung tâm và bằng không ở các điểm biên; thế năng làm ngược lại, và chúng trao đổi hai lần mỗi chu kỳ
- với không có lực cản thì tổng năng lượng không đổi: $E = \tfrac12 m\omega^2 x_0^2$, dễ dàng nhất để đánh giá ở trung tâm nơi toàn bộ là động năng
- theo độ dịch chuyển, hai dạng năng lượng là hai parabol đối xứng nhau mà tổng của chúng là một đường nằm ngang
- $E \propto x_0^2$: gấp đôi biên độ, bốn lần năng lượng