Probability generating functions
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| discrete distribution/dɪˈskriːt ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | phân phối rời rạc |
| probability generating function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdʒenəreɪtɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | hàm sinh xác suất |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | hệ số |
| variance/ˈveərɪəns/ | phương sai |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | đạo hàm |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | độc lập |
A distribution in a single function
- A discrete distribution 离散分布 is a list of probabilities — clumsy to manipulate.
- A probability generating function 概率母函数 (PGF) packs the whole list into one tidy function, turning hard probability sums into easy calculus.
Probability generating function lab
G(x) = p0 + p1 x + p2 x^2 + ...
Change x and see how a PGF stores probabilities in powers of x.
Defining the PGF
- For a discrete variable $X$ taking values $0, 1, 2, \dots$:
- The coefficient 系数 of $t^x$ is exactly $P(X = x)$ — the function encodes the distribution.
A probability generating function stores all the probabilities as coefficients
The probability generating function of X is defined as:
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
G(t) = E(tˣ) = Σ P(X=x) tˣ.
Mean and variance 方差 from derivatives 导数
- Differentiate and evaluate at $t = 1$:
Worked example. $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$. Then $G'(t) = 0.3 + 0.4t$, so $E(X) = G'(1) = 0.3 + 0.4 = 0.7$.
X has G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t². Since E(X) = G′(1) and G′(t) = 0.3 + 0.4t, what is E(X)?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
G'(1) = 0.3 + 0.4(1) = 0.7.
The mean is found from the PGF by E(X) = G′(______).
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
E(X) = G'(1).
Sums of independent 独立 variables
- The single most useful property: the PGF of a sum of independent variables is the product of their PGFs:
- This makes adding independent variables (e.g. total of several dice) almost effortless.
For any valid PGF, what is the value of G(1)?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
G(1) = Σ P(X=x) = 1, since probabilities sum to 1.
The PGF of a sum of two independent variables is the sum of their PGFs.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
False. For independent X and Y, G_{X+Y}(t) = G_X(t) G_Y(t): the PGFs multiply.
Check it's a valid PGF
$G(1)$ must equal 1. Since $G(1) = \sum P(X = x)$, a valid PGF always gives $G(1) = 1$ — a quick sanity check before you differentiate.
You've got it
- PGF: $G(t) = E(t^X) = \sum P(X=x)\,t^x$ (and $G(1) = 1$)
- $E(X) = G'(1)$; $\text{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - (G'(1))^2$
- the PGF of a sum of independent variables is the product of their PGFs
Write from an expectation of 1.1
- A probability generating function is 0.2 plus 0.5 t plus 0.3 t squared.
- Find the expectation from the derivative at 1. A valid generating function equals 1 at t = 1.
For G(t) = 0.2 plus 0.5 t plus 0.3 t squared, what is E(X), and what must G(1) equal?
The expectation is the derivative of the generating function at 1. The probabilities themselves must add to 1.
What is E(X)?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
0.5 plus 0.6 is 1.1. Other options — 0.7 (the lesson expectation); 1 (the value of G(1)).