Tích phân (Further Pure 2)
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | nguyên hàm |
| standard form/ˈstændəd fɔːm/ | dạng chuẩn |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | phép thế |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | hàm hyperbolic |
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | hàm lượng giác |
| surd/sɜːd/ | biểu thức căn thức |
| reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/ | công thức hạ bậc |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | chiều dài cung |
Tích phân phản kháng
- Một số tích phân không có nguyên hàm rõ ràng — cho đến khi bạn nhận ra dạng chuẩn hoặc phép thay thế phù hợp.
- Further Pure 2 cung cấp cho bạn một bộ công cụ: tích phân chuẩn của hàm lượng giác ngược, thay thế lượng giác/hyperbolic, và các công thức giảm bậc.
Tích phân chuẩn
- Hai kết quả đáng nhớ:
- Gắn tích phân với dạng tương ứng, tra cứu $a$, và viết đáp án.
Tích phân xác định đo diện tích dưới đường cong
Diện tích dưới đường cong
area = ∫ f(x) dx
Mỗi tích phân đo diện tích dưới đường cong — kéo giới hạn.
∫ 1/(a² + x²) dx bằng bao nhiêu?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đây là tích phân lượng giác ngược tiêu chuẩn.
∫ 1/√(4 − x²) dx bằng bao nhiêu?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Với a = 2, ∫1/√(a²−x²) dx = sin⁻¹(x/a) = sin⁻¹(x/2) + C.
Nối mỗi tích phân với kết quả tương ứng.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Hai tích phân đầu tiên là các dạng lượng giác ngược tiêu chuẩn; ∫1/x dx = ln|x| + C.
Thay thế
- Một phép thế lượng giác ($x = a\sin\theta$ hoặc $x = a\tan\theta$) biến mẫu số chứa căn thức hoặc đa thức bậc hai thành dạng đơn giản.
- Phép thay thế hyperbolic ($x = a\sinh u$) xử lý $\sqrt{a^2 + x^2}$.
Ví dụ đã giải. $\displaystyle\int \frac{1}{9 + x^2}\,dx$. Tại đây $a^2 = 9$, nên $a = 3$: đáp án là $\dfrac{1}{3}\tan^{-1}\dfrac{x}{3} + C$.
Trong ∫ 1/(9 + x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C, a bằng bao nhiêu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
a² = 9 nên a = 3; tích phân là (1/3)tan⁻¹(x/3) + C.
Công thức giảm bậc
- Một công thức truy hồi liên hệ tích phân $I_n$ với tích phân bậc thấp hơn $I_{n-1}$ (hoặc $I_{n-2}$).
- Áp dụng lặp lại để xuống từng bước về trường hợp cơ bản mà bạn có thể tính trực tiếp.
Đừng bỏ sót cận. Đối với tích phân xác định, hạng tử biên trong công thức giảm bậc được tính tại các cận mỗi lần — đây là nơi hay mất dấu hoặc thừa thừa số.
Công thức hạ bậc liên kết một tích phân Iₙ với Iₙ₋₁ để bạn có thể tính từng bước một.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Các công thức hạ bậc biểu diễn một tích phân chỉ số cao hơn theo một tích phân chỉ số thấp hơn.
Ứng dụng
- Tích phân cũng đo chính độ dài đường cong:
- Chiều dài cung: $\displaystyle s = \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Diện tích mặt quay: $\displaystyle S = \int 2\pi y\,\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Tính bằng phép thay thế lượng giác, hàm hyperbolic, và hoàn thành bình phương ở mẫu số.
Chiều dài cung là tích phân của √(1 + (______)²) dx.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Chiều dài cung s = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx.
Bạn đã nắm vững
- $\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx = \dfrac1a\tan^{-1}\dfrac{x}{a} + C$; $\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \sin^{-1}\dfrac{x}{a} + C$
- Dùng phép thay thế lượng giác / hyperbolic cho mẫu số chứa căn thức và đa thức bậc hai
- công thức giảm bậc đưa $I_n$ xuống $I_{n-1}$; tích phân còn cho chiều dài cung và diện tích mặt quay