Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Dựa trên khung Digital SAT. Các bài tập dạng giấy này không thích ứng và không dự đoán điểm chuẩn hóa.
- Sử dụng diện tích, thể tích và sự đồng dạng
- Áp dụng tỷ số tam giác vuông và định lý Pythagoras
- Sử dụng phương trình đường tròn, cung tròn và mối quan hệ góc
Kiến thức nền: Tổng ba góc trong tam giác; Pythagoras; đơn vị chiều dài/diện tích/thể tích.
Giải thích và chọn phương pháp
Sự đồng dạng bảo toàn các góc tương ứng và tỷ số độ dài. Diện tích tỷ lệ theo k² và thể tích theo k³.
Đối với tam giác vuông, sin = cạnh đối/cạnh huyền, cos = cạnh kề/cạnh huyền, tan = cạnh đối/cạnh kề.
Một đường tròn có tâm (h,k) và bán kính r có phương trình (x−h)²+(y−k)²=r².
Một vòng quay đầy đủ là 360° hoặc 2 radian. Độ dài cung chỉ bằng rθ khi θ tính theo radian.
Hệ số tỷ lệ $k$ thay đổi mọi độ dài tương ứng. $A_2=k^2A_1$ và $V_2=k^3V_1$ đối với các hình đồng dạng. Nếu $k=3/2$ và $A_1=24\,\mathrm{cm^2}$, thì $A_2=(3/2)^2(24\,\mathrm{cm^2})=54\,\mathrm{cm^2}$. Thay đổi chỉ một chiều kích không chứng minh được các quy tắc đồng dạng này.
Ví dụ minh họa. Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 6 và 8. c²=6²+8²=100, nên c=10. Đối với góc ngược lại với 6, sin θ=6/10=0.6. Một tam giác đồng dạng được phóng to theo hệ số 3 có diện tích gấp chín lần bản gốc.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Tổng quan này giới thiệu các kỹ năng. Mỗi kỹ năng đều có tài liệu hướng dẫn và bài tập riêng: 18 và 19. Hãy làm theo thứ tự đó.
Thực hành 1
Hai vật thể hình trụ đồng dạng có diện tích bề mặt lần lượt là 96 và 216 cm². Thể tích của vật nhỏ hơn là 160 cm³. Tìm thể tích của vật lớn hơn.
Lập luận. $k=\sqrt{A_2/A_1}=\sqrt{216/96}=3/2$. Thể tích sử dụng lập phương: $V_2=k^3V_1=(3/2)^3(160\,\mathrm{cm^3})=540\,\mathrm{cm^3}$. Sử dụng trực tiếp tỉ số diện tích sẽ cho ra kết quả thể tích sai.
Thực hành 2
Một tam giác vuông có cạnh huyền là 13 cm và một cạnh góc vuông là 5 cm. Tìm cạnh góc vuông còn lại, diện tích và sin của góc đối diện với cạnh 5 cm.
Lập luận. $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(13\,\mathrm{cm})^2-(5\,\mathrm{cm})^2}=12\,\mathrm{cm}$. $A=ab/2=(5\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/2=30\,\mathrm{cm^2}$. $\sin\theta=a/c=(5\,\mathrm{cm})/(13\,\mathrm{cm})=5/13$.
Thực hành 3
Hai góc trong của một tam giác lần lượt là 42° và 73°. Tìm góc thứ ba và góc ngoài kề với nó. Những góc này liệu có đủ để xác định toàn bộ độ dài các cạnh?
Lập luận. Góc thứ ba là $180-42-73=65$ độ. Góc ngoài kề với nó là $180-65=115$ độ, cũng là $42+73$. Các góc xác định hình dạng, không phải kích thước; tam giác相似 có thể có độ dài cạnh khác nhau.
Thực hành 4
Hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường chéo. Một góc đồng vị là 68°. Tìm góc đồng vị tương ứng của nó và góc kề bên trên đường thẳng thứ hai. Giải thích điều kiện nào đã cho justification cho từng bước.
Lập luận. Tính song song tạo ra góc tương ứng khớp 68°. Cặp kề nhau tạo thành góc bẹt, nên góc kia là 180°−68°=112°. Góc tương ứng bằng nhau yêu cầu các đường thẳng song song được nêu; tổng góc bẹt sử dụng tính kề nhau trên một đường thẳng. Một bản vẽ tương tự nhưng không có sự song song sẽ không làm cơ sở cho đẳng thức đầu tiên.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Bán kính và đường kính khác nhau một hệ số hai. Sử dụng đường kính trong πr² sẽ làm diện tích lớn hơn gấp bốn lần so với thực tế.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.