Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Dựa trên khung Digital SAT. Các bài tập dạng giấy này không thích ứng và không dự đoán điểm chuẩn hóa.
- Khôi phục tâm và bán kính đường tròn bằng cách hoàn thành bình phương
- Chuyển đổi góc ở tâm và tính độ dài cung, diện tích hình quạt
- Sử dụng mối quan hệ tiếp tuyến, góc nội tiếp và vòng tròn đơn vị
Kiến thức nền: Hoàn thành bình phương; bán kính; radian; tỷ số tam giác vuông.
Giải thích và chọn phương pháp
Một đường tròn tâm (h,k) và bán kính r thỏa mãn (x-h)²+(y-k)²=r². Với phương trình dạng khai triển, hoàn thành bình phương theo x và y rồi cộng các hằng số cân bằng vào vế kia. Vế phải thu được phải dương để có một đường tròn thực không suy biến. Giữ riêng biệt bán kính so với bình phương của nó.
Góc ở trung tâm θ tính bằng radian cho độ dài cung rθ và diện tích hình quạt r²θ/2. Theo độ, sử dụng tỷ số θ/360 của chu vi hoặc diện tích toàn phần. Một vòng quay đầy đủ là 2π radian=360°. Các công thức rθ và r²θ/2 yêu cầu radian; chèn độ mà không chuyển đổi sẽ dẫn đến sai tỷ lệ.
Tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn vuông góc với bán kính tại điểm đó. Góc nội tiếp bằng nửa góc ở trung tâm cùng chắn một cung; góc chắn đường kính là góc vuông. Xác định cung chung thực tế và tâm trước khi áp dụng các phát biểu này. Dây cung không phải là tiếp tuyến và không nhất thiết vuông góc với bán kính trừ khi có điều kiện bổ sung xác nhận.
Trên đường tròn đơn vị, một điểm ở góc θ có tọa độ (cos θ,sin θ), do đó cos²θ+sin²θ=1. Dấu phụ thuộc vào tứ giác. Đối với hai góc nhọn bù nhau, sin θ=cos(90°-θ). Sử dụng các tam giác đặc biệt để tìm giá trị chính xác: tại 30°, sin là 1/2 và cos là √3/2; tại 45°, cả hai đều bằng √2/2.
Hoàn thành cả hai bình phương trong phương trình đường tròn. $x^2+y^2+6x-8y=0$ trở thành $(x+3)^2+(y-4)^2=25$. Tâm là $(-3,4)$ và bán kính là 5. Độ dài cung là $s=r\theta$ chỉ khi góc tính bằng radian là $\theta$.
Ví dụ có hướng dẫn. x²+y²-4x+6y-12=0 trở thành (x-2)²+(y+3)²=25, cho tâm (2,-3), bán kính 5. Với bán kính 6 và góc ở tâm π/3, độ dài cung là 2π và diện tích hình quạt là 6π. Góc nội tiếp trên cùng cung 60° đó là 30°. Tại 150°, cosin là -√3/2 và sin 1/2 vì điểm nằm ở quadrant II.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Tìm tâm và bán kính của $x^2+y^2-8x+2y+8=0$. Điểm $(7,-1)$ có nằm trên đường tròn đó không?
Lập luận. Hoàn thành bình phương để thu được $(x-4)^2+(y+1)^2=9$. Tâm $(4,-1)$, bán kính 3. Thay thế $(7,-1)$ cho ra $3^2+0^2=9$, nên nó nằm trên đường tròn.
Thực hành 2
Một hình quạt có bán kính 8 cm và góc 135°. Tìm góc của nó theo radian, độ dài cung và diện tích. Một góc nội tiếp ở vị trí khác trên đường tròn cùng chắn cung này; hãy tìm nó.
Lập luận. $\theta=135\pi/180=3\pi/4$ radian. $s=r\theta=(8\,\mathrm{cm})(3\pi/4)=6\pi\,\mathrm{cm}$. $A=r^2\theta/2=(8\,\mathrm{cm})^2(3\pi/4)/2=24\pi\,\mathrm{cm^2}$. Góc nội tiếp bằng một nửa góc ở tâm: 67.5 độ.
Thực hành 3
Một điểm trên đường tròn đơn vị nằm ở tứ giác III và có $y=-1/2$. Tìm tọa độ $x$ của nó và một góc nằm giữa 0° và 360°.
Lập luận. $x^2+y^2=1$ cho ra $x^2=3/4$. Quadrant III yêu cầu $x<0$, nên $x=-\sqrt3/2$. Điểm nằm ở 210 độ, với góc tham chiếu là 30 độ.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Kiểm tra đơn vị độ/rad, dấu tâm và xem góc đó là góc ở tâm hay góc nội tiếp trước khi áp dụng công thức.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.