Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Dựa trên khung Digital SAT. Các bài tập dạng giấy này không thích ứng và không dự đoán điểm chuẩn hóa.
- Tính xác suất của biến cố và biến cố đối từ số liệu đếm
- Sử dụng nhóm điều kiện làm mẫu số
- Phân biệt tính độc lập và tính rời rạc
Tiền đề: Phân số; tổng bảng; biến cố và biến cố đối.
Giải thích và chọn phương pháp
Xác suất dựa trên các quan sát phân bố đều bằng số trường hợp thuận lợi chia cho tổng tương ứng. Bảng hai chiều có các số liệu giao nhau trong ô, tổng nhóm ở viền ngoài và tổng chung. Đọc kỹ xem câu hỏi yêu cầu về biến cố giao nhau, biến cố này hoặc biến kia, hay một biến cố cho trước biến cố khác trước khi chọn mẫu số.
Đối với P(A cho biết B), chỉ xét nhóm B và lấy số trường hợp A và B chia cho tổng nhóm B. Nó thường không bằng P(B cho biết A) vì nhóm điều kiện khác nhau. Một phân số có tử số đúng nhưngPopulation sai vẫn trả lời cho câu hỏi sai.
Xác suất biến cố đối là 1 - P(A). Đối với A hoặc B, cộng riêng xác suất sẽ đếm trùng phần giao, nên trừ đi P(A và B). Các biến cố rời rạc không có phần giao; các biến cố độc lập thỏa mãn P(A và B) = P(A)P(B). Hai biến cố rời rạc có xác suất dương không thể độc lập, vì việc xảy ra biến này loại trừ biến kia.
Đối với việc rút không hoàn lại, cập nhật cả số trường hợp thuận lợi còn lại và tổng số mỗi bước. Đối với lựa chọn lặp lại độc lập, các xác suất nhân với nhau mà không cần cập nhật đó. Nêu giả định lấy mẫu trước khi tính toán. Bảng tần suất tương đối quan sát được hỗ trợ xác suất thực nghiệm cho quần thể đó, chứ không phải là đảm bảo cho mọi lần rút trong tương lai.
Xác suất có điều kiện giới hạn mẫu. Trong 40 thành viên câu lạc bộ, 12 đi xe đạp; 8 trong số những người đi xe đạp này đội mũ bảo hiểm. $P(H\mid C)=n(H\cap C)/n(C)=8/12=2/3$. Nhóm là người đi xe đạp, do đó 40 không phải là mẫu số này.
Worked example. Original counts: bus users—18 carry a packed lunch, 12 do not; non-bus users—12 carry lunch, 8 do not. Total 50. P(lunch)=30/50=0.6; P(lunch given bus)=18/30=0.6; P(bus given lunch)=18/30=0.6 in this particular balanced table. Change one cell and these need not stay equal. P(bus and lunch)=18/50=0.36, equal here to 0.6·0.6, so the table shows independence of these categories.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Một cuộc khảo sát ghi nhận 12 người uống trà và 8 người không uống trà trong 20 người đi xe đạp; trong 30 người đi bộ, nó ghi nhận 9 người uống trà và 21 người không uống trà. Tìm $P(tea)$, $P(tea\mid cyclist)$ và $P(cyclist\mid tea)$.
Lập luận. Tổng số uống trà là 21 trong số 50, tức là $P(T)=21/50$. Trong nhóm người đạp xe, có $P(T\mid C)=12/20=3/5$. Trong nhóm uống trà, có $P(C\mid T)=12/21=4/7$. Các mẫu số khác nhau khiến xác suất có điều kiện không bằng nhau.
Thực hành 2
Trong cùng cuộc khảo sát, việc uống trà và đi xe đạp có độc lập không? Có rời rạc không? Sử dụng số liệu để trả lời cả hai câu hỏi.
Lập luận. Chúng không độc lập vì $P(T\mid C)=3/5\ne21/50=P(T)$. Chúng không rời rạc vì 12 người trả lời làm cả hai: $P(T\cap C)=12/50>0$.
Thực hành 3
Chọn ngẫu nhiên một người tham gia. Tìm xác suất đi bộ hoặc uống trà, bao gồm cả những người làm cả hai.
Lập luận. Sử dụng nguyên lý bao hàm - loại trừ. $P(W\cup T)=(30+21-9)/50=42/50=21/25$. Những người đi bộ uống trà 9 không được đếm hai lần. Tương đương, hãy loại bỏ những người đạp xe không uống trà 8.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Các câu trả lời điều kiện bằng nhau trong một bảng là sự trùng hợp ngẫu nhiên hoặc cấu trúc cần kiểm tra, không phải là quy luật phổ quát. Điều kiện trước, sau đó mới đếm.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.