Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Dựa trên khung Digital SAT. Các bài tập dạng giấy này không thích ứng và không dự đoán điểm chuẩn hóa.
- Giải thích hệ số góc và tung độ gốc của mô hình phù hợp trong ngữ cảnh
- Tính phần dư và phân biệt nội suy với ngoại suy
- Chọn mẫu hình tuyến tính hoặc hàm mũ từ dữ liệu bước equal-step
Kiến thức nền tảng: Hàm tuyến tính; phép trừ có dấu; nhãn biểu đồ scatter.
Giải thích và chọn phương pháp
Biểu đồ scatter ghép cặp hai biến định lượng, mỗi quan sát ghép đôi tương ứng một điểm. Đường thẳng phù hợp tóm tắt xu hướng chứ không nối từng điểm. Trong mô hình y=a+bx, b dự đoán sự thay đổi của y khi x tăng thêm một đơn vị; đơn vị của nó là đơn vị y trên mỗi đơn vị x. Tung độ gốc a dự đoán y khi x=0, điều này có thể nằm ngoài phạm vi dữ liệu.
Phần dư là giá trị y quan sát trừ đi giá trị y dự đoán. Giá trị dương cho thấy quan sát nằm trên mô hình; giá trị âm cho thấy nằm dưới. Thay thế giá trị x quan sát vào mô hình trước khi thực hiện phép trừ. Phần dư lớn đánh dấu một dự đoán kém cho điểm đó, không nhất thiết là lỗi đo lường hay chứng minh xu hướng không tồn tại.
Nội suy dự đoán bên trong phạm vi x quan sát; ngoại suy vượt ra ngoài và cần thận trọng hơn vì mối quan hệ có thể thay đổi. Hãy sử dụng cả miền ngữ cảnh lẫn dạng đại số của mô hình. Ví dụ, thời gian di chuyển dự đoán âm có thể chỉ ra một phép ngoại suy không hợp lý thay vì một kết quả về mặt vật lý khả thi.
Đối với các bước đầu vào bằng nhau, hiệu output gần như hằng số gợi ý mô hình tuyến tính; tỷ lệ output gần như hằng số gợi ý mô hình hàm mũ. Sự nhiễu loạn (scatter) có thể khiến cả hai mẫu hình trở nên xấp xỉ. Mối liên hệ không xác định nguyên nhân: cả hai biến có thể phản ánh một yếu tố thứ ba. Một đường xu hướng phù hợp là bằng chứng về dự đoán, chứ không tự thân là bằng chứng về can thiệp.
Phần dư là giá trị quan sát trừ đi giá trị dự đoán. Mô hình hành trình $T=5+2d$ sử dụng phút cho $T$ và ki-lô-mét cho $d$. $T(4)=5\,\mathrm{min}+(2\,\mathrm{min/km})(4\,\mathrm{km})=13\,\mathrm{min}$. Đối với thời gian quan sát là 16 phút, $e=T_{obs}-T_{pred}=16\,\mathrm{min}-13\,\mathrm{min}=3\,\mathrm{min}$.
Worked example. For study time x hours and predicted practice score y=12+3x, the slope is 3 score points/hour. At x=2 the prediction is 18. If the observed score is 21, residual=21-18=3. With x-values observed from 1 to 5, predicting at x=3 interpolates and x=12 extrapolates. Outputs 5,10,20,40 at equal input steps suggest factor-two exponential growth.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Một mô hình giao hàng phù hợp là $T=8+1.5d$ phút cho các khoảng cách quan sát từ 2–10 km. Giải thích cả hai tham số. Tại 6 km, thời gian quan sát là 15 phút; hãy tìm phần dư của nó.
Lập luận. Intercept dự đoán 8 phút tại khoảng cách bằng không; giá trị này nằm ngoài phạm vi quan sát, nên đây là ngoại suy. Hệ số góc dự đoán thêm 1.5 phút mỗi kilomet. $T(6)=8\,\mathrm{min}+(1.5\,\mathrm{min/km})(6\,\mathrm{km})=17\,\mathrm{min}$. Phần dư $e=15\,\mathrm{min}-17\,\mathrm{min}=-2\,\mathrm{min}$, nằm dưới đường thẳng.
Thực hành 2
Các dự đoán yêu cầu tại 7 km và 20 km. Phân loại từng cái, và giải thích tại sao hệ số góc phù hợp không chứng minh rằng chỉ riêng khoảng cách gây ra toàn bộ sự biến thiên thời gian.
**Lập luận.**Seven nằm trong khoảng 2–10, nên áp dụng nội suy. Twenty nằm ngoài khoảng, nên áp dụng ngoại suy với độ tin cậy yếu hơn. Giao thông, tải trọng và các điều kiện khác có thể ảnh hưởng đến thời gian; mối liên hệ được mô hình hóa không tách riêng được tác động của từng yếu tố.
Thực hành 3
Tại các đầu vào cách đều nhau 0,1,2,3, các đầu ra là 6,18,54,162. Hãy chọn một quy tắc tuyến tính hoặc mũ đơn giản và dự đoán tại 4, nêu rõ giả định.
Lập luận. Các tỷ số đều bằng 3, trong khi hiệu số thay đổi. Quy tắc mũ là $y=6(3)^x$. Dưới sự tăng trưởng nhân ba liên tục, $y(4)=6(3)^4=486$. Đây là ngoại suy dựa trên mô hình, không phải là quan sát tiếp theo đảm bảo.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Giữ nguyên thứ tự: quan sát trừ đi dự báo. Đừng biến độ dốc của mô hình thành hiệu quả điều trị nguyên nhân.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.