3.3 · Geometry and measures

OxfordAQA đơn vị 9260 3.3 (phiên bản quy trình 5.1) — chiếm 31.5% tổng điểm mẫu. Hàng Cốt lõi G1–G26 bao gồm các sự thật về góc thông qua dựng hình, phụ lục Mở rộng bổ sung toàn bộ chương trình định lý đường tròn kèm chứng minh, điều kiện bằng nhau Bổ sung Mở rộng thêm toàn bộ chương trình định lý đường tròn kèm chứng minh, điều kiện đồng dạng về hướng, công thức cầu/chóp/nón/mặt cắt chóp, tỷ lệ tương đồng k-k²-k³, quạt, 3Đ Pythagoras và lượng giác, định lý sin/cosin với ½ab sinC, biến đổi kết hợp với hệ số tỷ lệ phân số/âm, hình học vectơ, và chương trình ma trận 2×2 (đơn vị, biến đổi hình vuông đơn vị, tổ hợp). Mẫu 1E là đề thi hình học; các dòng chưa lấy mẫu được gắn nhãn theo quy định chính thức. bản gốc.

Kiến thức bắt buộc cho đơn vị 3.3 (không có bảng công thức):

Thuật ngữ thông thường: điểm, đường thẳng, đỉnh, cạnh, mặt phẳng; song song, vuông góc; đa giác và đa giác đều; cách đánh dấu tiêu chuẩn của tam giác. Tính chất góc: tại một điểm (360°), trên một đường thẳng (180°), góc đối đỉnh; hai đường thẳng song song tạo ra góc so le, góc đồng vị và góc trong cùng phía (sử dụng các tên gọi này trong lập luận, không dùng "góc Z"); tổng các góc trong tam giác 180° với tam giác cân, tam giác đều và tam giác thường. Tổng các góc đa giác: góc trong $(n-2) \times 180°$, góc ngoài $360°$; đối với đa giác đều còn có góc ở tâm $= \tfrac{360°} {n}$. Các tứ giác đặc biệt (hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thang, hình diều, hình thoi) mang theo các tính chất về cạnh/góc/đường chéo, và các hình 2D có số lượng trục đối xứng và tâm đối xứng quay (một lục giác đều: 6 trục, cấp 6).

Đồng dạng với các điều kiện mở rộng cho tam giác — SSS, SAS, ASA, RHS — mỗi trường hợp được chứng minh bằng ba số đo độc lập nào xác định một tam giác. Sự đồng dạng nhân độ dài lên $k$: (Mở rộng) diện tích theo $k^2$, thể tích theo $k^3$, trong mọi hướng.

Chương trình mở rộng về đường tròn: góc ở tâm gấp đôi góc ở chu vi; góc trong nửa hình tròn là 90°; các góc cùng chắn một cung thì bằng nhau; hai góc đối diện của ** tứ giác nội tiếp** cộng lại bằng 180°; tiếp tuyến $\perp$ bán kính; tiếp tuyến kẻ từ một điểm bên ngoài bằng nhau; đường vuông góc từ tâm đi qua trung điểm một đ dây; định lý cung xen kẽ. Chuỗi suy luận đã kiểm chứng: một góc ở chu vi của 35° chắn cùng một cung với góc ở tâm là 70°, và góc từ cung ĐỐI là $\tfrac12(360° - 70°) = 145°$ — hai góc nội tiếp là hai góc đối của tứ giác nội tiếp ($35° + 145° = 180°$) — mỗi bước đều nêu tên định lý (câu hỏi về đường tròn mẫu 1E mang các đáp án thuộc dòng này; yêu cầu chứng minh hình học của G9').

Mặt, bề mặt, cạnh và đỉnh của khối lập phương, khối hộp chữ nhật, lăng trụ, hình trụ, hình chóp, hình nón và hình cầu; hình chiếu (nhìn trước, nhìn bên, nhìn trên — một dòng tiêu chuẩn chưa được lấy mẫu từ các đề thi). Đo đoạn thẳng và góc; vẽ tỉ lệ với hệ số thu phóng; phương vị: ba chữ số, theo chiều kim đồng hồ từ bản vẽ tỉ lệ với các tỷ lệ kích thước; phương vị: ba chữ số, theo chiều kim đồng hồ từ phía Bắc (Mở rộng bao gồm tám điểm la bàn) — phương vị 252° của mẫu 2E đến từ một chuỗi điểm tựa: một điểm tựa hoàn trả cộng với một góc tại một điểm.

Ví dụ minh họa: tính góc từ hai hướng. $B$ nằm ở hướng 070° từ $A$, và $C$ nằm ở hướng 160° từ $B$. Tìm góc $ABC$. Hướng của $A$ TỪ $B$ là hướng ngược lại $070° + 180° = 250°$. Tại $B$, hướng đến $A$ là 250° và hướng đến $C$ là 160°, nên góc $ABC = 250° - 160° = 90°$. Vẽ đường chỉ bắc tại MỌI điểm mà bạn làm việc; hướng được đo tại điểm được nêu sau từ "từ".

Các phép vẽ hình bằng thước kẻ và com-pa: trung trực của một đoạn thẳng, đường vuông góc với một đường thẳng đi qua/tại một điểm, tia phân giác, góc 60° — dùng để xây dựng hình và giải bài toán tập hợp điểm; khoảng cách vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng là ngắn nhất. Để lại tất cả các cung tròn rõ ràng: các cung tròn chính là phần tính toán.

Đơn vị tiêu chuẩn với phép đổi (thời gian 12/24-giờ; chiều dài, diện tích, thể tích/dung tích, khối lượng; đơn vị hợp thành vận tốc và mật độ). Diện tích: tam giác $\tfrac12 bh$, hình bình hành $bh$, hình thang $\tfrac12(a+b)h$; thể tích theo $V = Ah$ (hằng mặt cắt ngang. Hình tròn: $2\pi r$, $\pi r^2$; (Mở rộng) hình quạt cung $\tfrac\theta{360} \times 2\pi r$ và diện tích $\tfrac\theta{360} \times \pi r^2$, cộng thêm bao gồm chóp cụt (các dòng quy định, nhiều mục không được lấy mẫu) — một nón có bao gồm vỏ nón cụt (các dòng quy trình, không phải tất cả được lấy mẫu) — một hình nón có $r = 5$, $h = 12$ có đường sinh 13, $V = 100\pi$ và diện tích xung quanh $65\pi$; mẫu 1E bài toán hình chóp của mẫu vật tìm được tỷ lệ $p = 15$.

Ví dụ có lời giải: một hình quạt. Một hình quạt có bán kính 6 cm và góc 150°. Cung là $\tfrac{150}{360} \times 2\pi \times 6 = 5\pi = 15.7$ cm, nên chu vi là $5\pi + 6 + 6 = 27.7$ cm (cả hai bán kính đều tính). Diện tích là $\tfrac{150}{360} \times \pi \times 6^2 = 15\pi = 47.1\ \text{cm}^2$. Các hình đồng dạng (Mở rộng): chiều dài $k$ : diện tích $k^2$ : thể tích $k^3$ — các khối hình đồng dạng của mẫu 2E cho 864 cm³ from a volume ratio.

$a^2 + b^2 = c^2$ với SOH CAH TOA trong tam giác vuông — 2D luôn, 3D hình ở phần Nâng cao: trích xuất tam giác vuông trước (tam giác 3D lượng giác của mẫu 1E cho 62.7°). Định lý sin $\dfrac a{\sin A} = \dfrac b{\sin B}$ và định lý cosin $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ bao phủ mọi tam giác (Mở rộng), với Diện tích $= \tfrac12 ab\sin C$ đảo ngược — định lý cosin của mẫu 2E cho 102.6°, và $\cos x = \tfrac8{11}$ tạo ra $x = 43.3°$.

Ví dụ có lời giải: họ định lý cosin 2E, điều chỉnh. Một tam giác có $a = 9$, $b = 11$ and angle $C = 72°$. $c^2 = 81 + 121 - 2(9)(11)\cos 72° = 202 - 198 \times 0.309 = 202 - 61.2 = 140.8$, so $c = 11.9$ (3 chữ số có nghĩa). Sau đó góc nhỏ nhất nằm đối diện cạnh ngắn nhất: $\cos A = \tfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \tfrac{121 + 140.8 - 81}{2 \times 11 \times 11.87} = \tfrac{180.8}{261.1} = 0.693$, nên $A = 46.2°$ (giữ nguyên $c$ không làm tròn) — kiểm tra $A + B + C = 180°$ với $B = 61.8°$. ✓

Quay đơn, phản xạ, tịnh tiến (theo một vectơ) và phóng đại (hệ số dương) — với các tính chất được bảo toàn đã nêu; phần bổ sung Mở rộng bao gồm biến đổi kết hợp và phóng đại theo hệ số tỷ lệ phân số và âm (ảnh bị lật ngược, thu nhỏ ở phía đối diện của tâm). Vectơ: ký hiệu, tổng, hiệu và bội vô hướng (trực quan và theo thành phần), luật giao hoán và liên kết, cùng các bài toán hình học 2D đơn giản — mẫu 2E chứng minh $CB \parallel MN$ thông qua tỉ số $\tfrac12$ sử dụng vectơ.

Chương trình ma trận 2×2 (Mở rộng): nhân (2×2 với 2×2, với 2×1, ma trận đơn vị $I$; biến đổi của HÌNH VUÔNG ĐƠN VỊ — quay 90°/180°/270° quanh gốc tọa độ, phản xạ qua $x = 0$, $y = 0$, $y = x$, $y = -x$, phóng to tâm gốc tọa độ — được biểu diễn bằng ma trận như $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ (phản xạ qua $y = -x$, ma trận của mẫu 1E); tổ hợp các phép biến đổi bằng nhân ma trận, theo thứ tự các phép biến đổi áp dụng.

Ví dụ có lời giải: phép biến đổi kết hợp. Phản xạ qua $y = x$, ma trận $\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, sau đó quay 90° ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ, ma trận $\mathbf{R} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Phép biến đổi Đầu tiên nằm ở PHẢI:

đó là phép phản xạ qua trục $y$ ($x = 0$). Kiểm tra bằng một điểm: $(2, 1)$ phản xạ thành $(1, 2)$, sau đó quay thành $(-2, 1)$, và phép phản xạ qua trục $y$ cũng đưa $(2, 1)$ sang $(-2, 1)$. ✓ Nhân theo thứ tự khác sẽ cho $\mathbf{M}\mathbf{R}$, một phép phản xạ qua trục $x$: thứ tự rất quan trọng.

Ví dụ có lời giải: họ giải ma trận 1E, điều chỉnh. Giải $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}$: phương trình là $3x + y = 10$ và $x + 2y = 5$. Từ phương trình đầu, $y = 10 - 3x$; thay thế: $x + 2(10 - 3x) = 5$, nên $-5x = -15$, cho kết quả $x = 3$ và $y = 1$. Kiểm tra: $3(3) + 1 = 10$. ✓ The 1E specimen's own pairs $(6, -\tfrac12)$ and $(-2, -\tfrac52)$ thu được từ cùng một phương pháp trên hệ liên kết thứ hai. từ cùng một phương pháp trên hệ liên kết thứ hai.

• Thuật ngữ truyền thống và ký hiệu tam giác; tính chất góc; góc đường thẳng song song; tổng góc trong/ngoài/tâm đa giác; tính chất tứ giác; số lượng đối xứng (G1–G6).
• Đồng dạng theo SSS/SAS/ASA/RHS; đồng dạng với tỉ số k, k², k³ (G7, G17, Mở rộng).
• Ngôn ngữ đường tròn và toàn bộ ngân hàng định lý kèm lý do chứng minh (G8–G9, Mở rộng; chuỗi kiểm chứng 35° → 70° → 145°).
• Tính chất hình 3D; bản vẽ phẳng và mặt đứng (không lấy mẫu); đo lường, tỉ số phóng to, chỉ số phương hướng (G10–G12).
• Dựng hình (bốn loại dùng thước kẻ và la bàn) cùng tập hợp điểm; tính chất khoảng cách ngắn nhất (G13).
• Đơn vị và đại lượng phức hợp; công thức diện tích và V = Ah; công thức đường tròn; hình quạt; diện tích và thể tích cầu/lăng trụ/nón/hình chóp cụt/hình nón cụt; hình ghép (G14–G16, Mở rộng).
• Pythagoras và lượng giác trong 2D và 3D; định lý sin/cosin và ½ab sinC (G19–G20, Mở rộng; 1E 62.7°, 2E 102.6° và cos x = 8/11).
• Phép biến hình bao gồm phép phóng to kết hợp và phân số/âm (G21, Mở rộng).
• Ký hiệu vectơ và hình học (G22; chứng minh 2E CB ∥ MN).
• Nhân ma trận, ma trận đơn vị, các phép biến hình hình vuông đơn vị và tổ hợp (G23–G26, Mở rộng; 1E ma trận).

Lưu ý biên: KHÔNG có bảng công thức trong 9260. Các dòng được đánh dấu "không được lấy mẫu" (bản vẽ và mặt phẳng đứng, các phần của chương trình khối) là nguyên bản quy cách; các bài mẫu chỉ dành cho cấp độ Mở rộng. Các ví dụ hướng dẫn đã được điều chỉnh từ cặp bài mẫu 2016 hoặc nguyên bản. cặp mẫu hoặc bản gốc.