3.2 · Algebra

OxfordAQA 9260 đơn vị 3.2 (quy định cho kỳ thi đầu tiên 2018) — đơn vị lớn nhất ở 35% của mỗi bài thi Nâng cao. Các hàng Cốt lõi A1–A26 bao gồm ký hiệu thông qua đồ thị, phương trình, bất đẳng thức và dãy số; các phần bổ sung Mở rộng thêm vào biến đổi hai lần chủ đề, khai triển ba, tất cả các phân tích nhân tử bậc hai, lũy thừa phân số, phân thức đại số bậc hai, chứng minh chính thức, bộ công cụ hàm đầy đủ (miền xác định, miền giá trị, nghịch đảo, hợp), phương trình đường thẳng, đồ thị hàm mũ và lượng giác, vi phân với tiếp tuyến và điểm dừng, hoàn thành bình phương, hệ số góc và diện tích dưới đồ thị, sự biến thiên, mọi cặp đồng thời, bậc hai bất đẳng thức và dãy số bậc hai. Mẫu 2E kiểm tra đơn vị này rất nhiều (đại số là cột sống); các dòng không được chọn có nhãn là bản gốc quy định.

Kiến thức bắt buộc cho đơn vị 3.2 (KHÔNG có bảng công thức):

Chữ cái biểu thị số tổng quát; thay số vào các công thức và biểu thức (dương, âm, phân số). Phần mở rộng sắp xếp lại biểu thức phức tạp bao gồm cả khi chủ đề xuất hiện hai lần**: từ $ax + 3 = 5(xt) - 2a$, tóm gọn các số hạng chứa chủ đề trước — $ax + 2a = 5xt - 3$, để $a(x + 2) = 5xt - 3$ và $a = \dfrac{5xt - 3}{x + 2}$. Kiểm tra từng phép sắp xếp lại bằng giá trị số.

Tóm gọn các số hạng đồng dạng; khai triển ngoặc đơn và (mở rộng) tích của hai hoặc ba ** nhị thức**: $(x + 2)(x - 3)(x + 1) = (x^2 - x - 6)(x + 1) = x^3 - 7x - 6$. Phân tích nhân tử by common factors and (Extension) every quadratic $ax^2 + bx + c$, including the hiệu bình phương: $2x^2 - 7x - 15 = (2x + 3)(x - 5)$ và $9x^2 - 25 = (3x - 5)(3x + 5)$. Index laws run to fractional powers: $4c^5 \div 3d^3$ giữ nguyên ở $\tfrac{4c^5}{3d^3}$ trong kết quả dưới dạng lũy thừa (kiểu đáp án mẫu 1E).

Biểu thức hữu tỉ (Nâng cao) cộng, trừ, nhân và chia các biểu thức tuyến tính hoặc bậc hai — phân tích thành nhân tử trước, rút gọn toàn bộ nhân tử chung, mẫu số mẫu số. Mẫu đề 2E có $\dfrac{11m - 14}{m^2 - 3m - 4}$ và $\dfrac{2x + 3}{x + 4}$ thu được từ cơ chế này.

Ví dụ minh họa: rút gọn, sau đó trừ. (a) Rút gọn $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6}$. (b) Viết $\dfrac{3}{x + 2} - \dfrac{1}{x - 1}$ dưới dạng một phân thức duy nhất.

(a) Phân tích cả tử và mẫu, rồi triệt tiêu toàn bộ ước chung $(x + 3)$:

(b) Mẫu số chung là $(x + 2)(x - 1)$. Đặt tử số thứ hai trong ngoặc vì vậy dấu trừ tác động lên cả hai số hạng:

Việc rút gọn từng số hạng đơn lẻ (như $x^2$ trong phần (a)) là không bao giờ được phép: chỉ có các thừa số mới được rút gọn.

Chứng minh bằng lập luận toán học rằng đẳng thức đúng với mọi giá trị — với phần mở rộng yêu cầu về chứng minh hình thức. Cấu trúc: phát biểu đại số, rút gọn, so sánh với khẳng định. Mẫu điển hình (2E): chứng minh rằng $n^2 + n + 9$ luôn là số lẻ với mọi số nguyên $n$. Viết $n^2 + n = n(n + 1)$ dưới dạng: tích của hai số nguyên liên tiếp, trong đó trong đó là chẵn, nên $n(n + 1)$ là chẵn, và chẵn $+ 9$ là lẻ. Một ví dụ khác chứng minh tính chẵn lẻ: $(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = (4n^2 + 4n + 1) - (4n^2 - 4n + 1) = 8n$ — một bội số của 8 đối với mọi số nguyên $n$. Ví dụ số học chưa phải là chứng minh.

khác: Hàm số ánh xạ mỗi đầu vào sang đúng một đầu ra (Cốt lõi: hàm đầu vào – đầu ra miền xác định và miền giá trị). Hàm hợp: $\mathrm{f}(x) = \ldots$, miền xác định và miền giá trị). Hợp thành: $\mathrm{fg}(x) = \mathrm{f}(g(x))$, áp dụng $g$ trước — mẫu 2E xây dựng $\mathrm{fg}(x) = (x - 5)^2 + 1$ và giải $\mathrm{fg}(x) = 5$: $(x - 5)^2 = 4$ cho kết quả $x = 3$ (hoặc $x = 7$; kiểm tra: $(3 - 5)^2 + 1 = 5$ đến từ 1. $\mathrm{f}^{-1}(x) = \tfrac x3$ đến từ $\mathrm{f}(x) = 3x$.

đơn giản; Tọa độ trong bốn tứ giác; vẽ $y = mx + c$; các nội dung bổ sung ở phần mở rộng giúp tìm phương trình đi qua hai điểm hoặc đi qua một điểm với hệ số góc cho trước, và sử dụng $y - y_1 = m(x - x_1)$: đi qua $(1, 7)$ và $(2, 9)$, $m = 2$ và $y = 2x + 5$. Đường thẳng song song có cùng $m$; tích hệ số góc của hai đường vuông góc bằng $-1$ (phạm vi đường thẳng, không được lấy mẫu).

kiến thức). Vẽ sơ đồ và nhận xét đồ thị tuyến tính, bậc hai, bậc ba và nghịch đảo; phần mở rộng thêm hàm mũ $y = k^x$ cho số dương $k$ và đồ thị lượng giác (độ) — cả hai dòng quy định không được lấy mẫu từ cung cấp các mẫu tương ứng. Xác định nghiệm, giao điểm và điểm cực trị; phần mở rộng cung cấp Suy ra điểm cực trị bằng cách hoàn thành bình phương: $y = x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4$ has its minimum at $(3, -4)$ (đặc điểm đường thẳng, không được lấy mẫu). Độ dốc và diện tích dưới đồ thị (bao gồm cả đồ thị bậc hai và phi tuyến tính) được giá trị ước lượng thông qua tiếp tuyến và hình thang, và — ở phần mở rộng — tính chính xác bằng vi phân (phần tiếp theo).

Khối vi phân Nâng cao: hiểu và sử dụng hàm độ dốc $\dfrac{dy}{dx}$, vi phân $kx^n$ với số nguyên dương $n$ (và tổng), và biết rằng độ dốc của hàm tại một điểm CHÍNH LÀ độ dốc của tiếp tuyến tại đó — sau đó tìm phương trình của tiếp tuyến.

Các giá trị của mẫu E 2 (trích dẫn gia đình): một đường cong có $\dfrac{dy}{dx} = 15$ tại điểm mang tiếp tuyến $y = 15x - 36$. Các điểm dừng giải $\dfrac{dy}{dx} = 0$, phân loại là cực đại, cực tiểu hoặc điểm uốn, với các đường cong phương pháp vẽ từ các đạo hàm:

Ví dụ hướng dẫn: điểm dừng và tiếp tuyến. $y = x^3 - 12x + 5$: $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 12 = 0$ cho $x = \pm 2$. Tại $x = -2$, $y = 21$ (độ dốc thay đổi từ $+$ sang $-$: cực đại); tại $x = 2$, $y = -11$ (thay đổi từ $-$ sang $+$: cực tiểu). Tại $x = 3$ độ dốc là $3(9) - 12 = 15$ và tiếp tuyến là $y + 4 = 15(x - 3)$, tức là $y = 15x - 49$.

Giải phương trình bậc nhất (biến số xuất hiện ở cả hai vế), phương trình bậc hai bằng cách phân tích thành nhân tử và (Nâng cao) bằng phương pháp hoàn thành bình phương và công thức nghiệm — theo mẫu 1E $x = -3 \pm \sqrt7$ lấy từ $x^2 + 6x + 2 = 0$: $x = \tfrac{-6 ± \sqrt{36 - 8}}{2}$. Hệ phương trình đồng thời: hai phương trình bậc nhất, và (Nâng cao) một phương trình bậc nhất kết hợp với một phương trình bậc hai. Sự biến thiên (Nâng cao): tỉ lệ thuận trực tiếp $y = kx^n$ và tỉ lệ nghịch $y = \tfrac{k}{x^n}$ trong ngữ cảnh đại số (dòng quy định, không được kiểm tra). Ví dụ hướng dẫn: một phương trình tuyến tính và một phương trình bậc hai. Giải $y = x + 1$ và $x^2 + y^2 = 13$ đồng thời. Thay phương trình tuyến tính vào phương trình bậc hai:

Vậy $x = 2$, $y = 3$ hoặc $x = -3$, $y = -2$. Trình bày kết quả theo dạng CẶP, và tìm mỗi $y$ từ phương trình tuyến tính: bình phương $y^2 = 9$ sẽ sai lầm khi cho phép $y = -3$ xuất hiện với $x = 2$.

Bất phương trình: bậc nhất với một ẩn, và (Nâng cao) với một hoặc hai ẩn cộng thêm bất phương trình bậc hai — giải $x^2 - x - 6 > 0$ bằng các giá trị tới hạn $x = -2, 3$: tam thức bậc hai dương, do đó $x < -2$ hoặc $x > 3$ (dòng quy định, không được kiểm tra).

Tạo ra các số hạng từ quy luật từ số hạng này sang số hạng khác và từ vị trí; sử dụng dãy số tam giác, bình phương và dãy số lập phương (Cốt lõi) với các bổ sung Mở rộng bao gồm dãy bậc hai, dãy số: hiệu số bậc hai là hằng số, và số hạng thứ n là $an^2 + bn + c$ with $a = \tfrac12(\text{second difference})$. For $5, 9, 17, 29, 45, \ldots$: first differences $4, 8, 12, 16$, second difference $4$, so $a = 2$. Lấy $2n^2$ (cho ra $2, 8, 18, 32, 50$) và trừ đi: phần dư $3, 1, -1, -3, -5$ are linear, $-2n + 5$. So the nth term is $2n^2 - 2n + 5$ — check $n = 4$: $32 - 8 + 5 = 29$. ✓

• Ký hiệu tổng quát; thay thế; biến đổi với chủ đề xuất hiện hai lần (A1–A3, Mở rộng).
• Khai triển hai hoặc ba nhị thức; phân tích nhân tử tất cả các đa thức bậc hai và hiệu hai bình phương; đáp số có số mũ phân số; phân thức đại số bậc hai (A4–A7, Mở rộng; 1E/2E mẫu).
• Chứng minh đại số chính thức (A8, Mở rộng; 2E n² + n + 9 họ).
• Hàm: định nghĩa, tập xác định, tập giá trị, hợp thành fg, nghịch đảo (A9, Mở rộng; 2E fg(x) = (x−5)² + 1, 1E f⁻¹(x) = x/3).
• tọa độ; phương trình đường thẳng đi qua hai điểm hoặc điểm + hệ số góc; hệ số góc vuông góc (A10–A11; phần sau không được chọn lọc).
• Đồ thị tuyến tính, bậc hai, bậc ba, nghịch đảo, hàm mũ và lượng giác; điểm cực trị bằng cách hoàn thành bình phương; ước lượng hệ số góc/diện tích (A12, A16–A17; nhiều đường không được chọn lọc).
• Đạo hàm của kxⁿ; hệ số góc = hệ số góc tiếp tuyến; phương trình tiếp tuyến; phân loại điểm dừng với sơ đồ (A13–A15, Mở rộng; 2E họ tiếp tuyến).
• Phương trình tuyến tính; nghiệm phương trình bậc hai bằng cả ba phương pháp; giải đồng thời tuyến tính–tuyến tính và tuyến tính–bậc hai (A19–A21, Mở rộng).
• Đặt vào ngữ cảnh đại số (A22, Mở rộng); bất đẳng thức tuyến tính (một/hai ẩn) và bất đẳng thức bậc hai với tập nghiệm (A23, Mở rộng; không được chọn lọc).
• Các loại dãy số; số hạng thứ n dạng tuyến tính và bậc hai (A24–A26, Mở rộng).

Ghi chú biên: KHÔNG có bảng công thức trong 9260. Các dòng đánh dấu "không được chọn lọc" (hệ số góc vuông góc, vẽ đồ thị hàm mũ/lượng giác, điểm cực trị bằng cách hoàn thành bình phương, biến thiên, bất đẳng thức bậc hai và bất đẳng thức hai ẩn) là nội dung gốc của chương trình; các mẫu chỉ dành cho cấp Mở rộng, nên yêu cầu cấp Cơ sở không có bằng chứng địa phương. Các ví dụ làm chi tiết được điều chỉnh từ cặp mẫu 2016 hoặc gốc.