A.3 · Groups, cosets and quotient maps

Chuẩn bị GRE đại học. Mục tiêu cục bộ nằm trong phạm vi ETS đã xem xét; đây là giảng dạy nguyên bản, không phải bài thi chính thức hoặc dự đoán điểm số.

Kiến thức nền tảng: Trục axiom nhóm, hàm số, tính chia hết của số nguyên và hoán vị.

• Kiểm tra cấu trúc nhóm và tính bậc phần tử cũng như chỉ số nhóm con
• Sử dụng nhân và ảnh để xác định các nhóm thương
• Phân biệt nhóm con chuẩn từ các nhóm con tùy ý
• Phân loại liên hợp hoán vị theo kiểu chu trình

lớp trái: Một dịch chuyển của một nhóm con tạo thành một phần của phân hoạch lớp trái.

nhóm con chuẩn: Một nhóm con bất biến dưới phép liên hợp bởi mọi phần tử của nhóm.

Trước khi tính bậc, hãy kiểm tra tính đóng, tính kết hợp, phần tử đơn vị và phần tử nghịch đảo cho mọi phần tử theo phép toán đã cho. Một tập con có thể thừa nhận tính kết hợp nhưng thiếu tính đóng hoặc bỏ sót phần tử đơn vị. Trong nhóm hữu hạn, bậc của một phần tử là lũy thừa dương nhỏ nhất tạo ra phần tử đơn vị. Trong nhóm cộng Z/nZ, nó là bội số dương nhỏ nhất tạo ra không; bậc của thặng dư a là n/gcd(a,n). Định lý Lagrange nói rằng bậc của nhóm con chia hết vào bậc của nhóm. Điều ngược lại không phải là định lý tồn tại tổng quát, và bậc của nhóm không phải là bậc của mỗi phần tử.

Một lớp trái gH là một dịch chuyển của nhóm con H. Các lớp trái có kích thước bằng nhau và phân hoạch nhóm, do đó chỉ số là |G|/|H| trong nhóm hữu hạn. Trong nhóm cộng, viết g+H. Thuộc cùng một lớp trái nghĩa là hiệu nằm trong H. Lớp trái thường không tự nó là một nhóm con vì nó có thể thiếu phần tử đơn vị.

Một đồng cấu bảo toàn phép toán. Nhân của nó gồm các phần tử được ánh xạ đến phần tử đơn vị, và ảnh của nó gồm các giá trị thực tế đạt được. Mọi nhân đều là nhóm con chuẩn. Định lý đẳng cấu thứ nhất xác định G/ker(phi) với im(phi); đừng thay thế ảnh bằng toàn bộ codomain trừ khi ánh xạ là toàn ánh.

Phép nhân thương chỉ xác định đúng khi H là nhóm bình thường. Mọi nhóm con của nhóm giao hoán đều là nhóm bình thường. Trong bài kiểm tra nhóm phi giao hoán, thử gHg^−1=H; nhóm con có chỉ số hai thì bình thường. Đối với hoán vị, hợp theo quy ước đã nêu, ở đây thực hiện từ phải sang trái. Độ dài chu kỳ rời rạc cho cấp của hoán vị bằng bội chung nhỏ nhất của chúng. Liên hợp hσh⁻¹ đánh dấu lại các phần tử trong các chu kỳ của σ, nên bảo toàn độ dài chu kỳ; ngược lại, các hoán vị có cùng độ dài chu kỳ có thể liên kết qua việc đánh dấu lại. Do đó, các lớp liên hợp trong S_n tương ứng với các phân hoạch của n, bao gồm cả các chu kỳ cố định. Trong S4, các loại là 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1 và 4: năm lớp, không phải một lớp cho mỗi cấp phần tử có thể có. Các loại 2+1+1 và 2+2 đều có cấp hai nhưng không liên hợp.

Định nghĩa phi từ Z/12Z sang Z/3Z bằng cách giảm dư modulo 3. Nó là toàn ánh và bảo toàn phép cộng. Hạt nhân H của nó là {0,3,6,9}, do đó |H|=4 và chỉ số là 12/4=3. Các lớp coset khác là {1,4,7,10} và {2,5,8,11}. Vậy (Z/12Z)/H đồng cấu với Z/3Z. Phần tử 3 trong nhóm ban đầu có bậc là 12/gcd(3,12)=4, không phải 3.

Một thương có một phần tử cho mỗi lớp coset, không phải một phần tử cho mỗi phần tử của nhân. Một đồng cấu không cần phải là toàn ánh lên miền đích đã nêu.

Trong nhóm cộng $\mathbb Z/18\mathbb Z$, hãy để $H=\langle6\rangle$. Liệt kê H và các lớp thặng dư của nó. Xác định cấp của 6 và nhận diện nhóm thương.

Giải mẫu

$H=\{0,6,12\}$ có kích thước ba. Sáu lớp thặng dư là $r+H=\{r,r+6,r+12\}$ cho $r=0,1,2,3,4,5$. Chúng phân hoạch tất cả 18 dư thức. Phần tử 6 có cấp ba, trong khi nhóm thương có cấp sáu. Rút gọn theo modulo sáu là toàn bộ với hạt nhân là H, nên $(\mathbb Z/18\mathbb Z)/H\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$. Tính bình thường được đảm bảo vì nhóm gốc là giao hoán.

Trong $S_3$, giả sử $H=\{e,(12)\}$. Kiểm tra xem $H$ có chính quy hay không, và quyết định phép nhân lớp thặng dư có xác định một nhóm thương hay không. Riêng biệt tìm bậc của $(123)(45)$ trong $S_5$.

Kiểm tra sau khi đã làm

Liên hợp bởi $(123)$ biến $(12)$ thành $(23)$, nằm ngoài H. Do đó H không chính quy. Các lớp thặng dư trái vẫn phân hoạch $S_3$, nhưng phép nhân các lớp này không xác định độc lập với đại diện. Các chu kỳ rời rạc trong $(123)(45)$ có độ dài ba và hai, nên bậc của nó là $\operatorname{lcm}(3,2)=6$. Bậc phần tử và chỉ số nhóm con là hai khái niệm khác nhau.