C.3 · Differential equations and initial conditions

GRE · GRE Subject Test · GRE Mathematics · Chủ đề 8

Phạm vi và yêu cầu tiên quyết

Chuẩn bị GRE đại học. Mục tiêu cục bộ nằm trong phạm vi ETS đã xem xét; đây là giảng dạy nguyên bản, không phải bài thi chính thức hoặc dự đoán điểm số.

Kiến thức nền tảng: Vi phân, tích phân, hàm mũ và phương trình bậc hai.

Giải các phương trình bậc nhất tách biến
Giải các phương trình bậc hai hệ số hằng
Sử dụng điều kiện ban đầu và điều kiện duy nhất

điều kiện ban đầu: Giá trị của nghiệm hoặc đạo hàm được xác định tại một điểm bắt đầu.

nghiệm đặc trưng: Nghiệm của đa thức chi phối các nghiệm hàm mũ.

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	Điều kiện ban đầu
characteristic root/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ruːt/	Nghiệm đặc trưng

Chọn và biện minh cho một phương pháp

Đối với y′=ky, việc tách biến và tích phân cho y=Ce^(kt); khôi phục nghiệm không nếu đã chia cho y. Một giá trị ban đầu xác định C.

Một phương trình bậc hai hệ số hằng sử dụng đa thức đặc trưng. Các nghiệm phân biệt tạo ra hàm mũ; nghiệm bội đòi hỏi (C1+C2t)e^(rt).

Nghiệm phức α±iβ tạo ra e^(αt)(C1 cos βt+C2 sin βt). Chuyển động thực bao gồm cả thông tin biên độ và pha.

Sự tồn tại và duy nhất phụ thuộc vào giả thuyết gần điểm ban đầu. Hệ số kỳ dị hoặc sự thất bại trong hành vi Lipschitz cục bộ có thể phá vỡ kết luận duy nhất quen thuộc.

Ví dụ giải thích chi tiết

Giải y″+4y=0 với y(0)=3 và y′(0)=4. Các nghiệm đặc trưng là ±2i, nên y=A cos2t+B sin2t. Điều kiện đầu tiên cho A=3; lấy đạo hàm ta có y′(0)=2B=4, suy ra B=2.

Phương trình vi phân và điều kiện ban đầu: ví dụ khóa học — Minh họa khóa học gốc; các giá trị của nó thuộc về bài giải mẫu, không phải bài tập thực hành sau đó.

Điều kiện và phản ví dụ

Nghiệm đặc trưng bội cần nhân tử t; hai bản sao cùng một hàm mũ không phải là các nghiệm độc lập.

Ứng dụng hướng dẫn

Giải $y''-4y'+4y=0$ với $y(0)=1$, $y'(0)=0$. Kiểm tra cả hai điều kiện ban đầu và phương trình.

Giải mẫu

Đa thức đặc trưng là $(r-2)^2$. Các nghiệm độc lập là $e^{2t}$ và $te^{2t}$, do đó $y=(C_1+C_2t)e^{2t}$. Giá trị ban đầu cho $C_1=1$; đạo hàm tại không cho $2C_1+C_2=0$, nên $C_2=-2$.

$$y(t)=(1-2t)e^{2t},\quad y'(t)=-4te^{2t},\quad y''(t)=(-4-8t)e^{2t}.$$

Thay thế cho $y''-4y'+4y=0$, và hai giá trị ban đầu thỏa mãn. Hai bản sao của $e^{2t}$ sẽ không tạo thành không gian nghiệm.

Chuyển giao độc lập

Chứng minh rằng bài toán giá trị ban đầu $y'=2\sqrt{|y|}$, $y(0)=0$ có nhiều hơn một nghiệm cho $t\ge0$. Xác định giả thuyết duy nhất tiêu chuẩn bị thiếu.

Kiểm tra sau khi đã làm

Một nghiệm bằng identically zero. Với mọi $a\ge0$, đặt $y_a(t)=0$ cho $0\le t\le a$ và $y_a(t)=(t-a)^2$ cho $t>a$. Đạo hàm bằng không trên khoảng đầu tiên và $2(t-a)$ trên khoảng thứ hai; cả hai vế đều có đạo hàm bằng không tại a. Do đó $y_a$ khả vi và thỏa mãn phương trình và giá trị ban đầu. Vế phải liên tục nhưng không Lipschitz cục bộ theo y tại không: $|2\sqrt h-0|/|h|=2/\sqrt h$ không bị chặn. Sự tồn tại không ngụ ý sự duy nhất, và việc chia cho $\sqrt y$ sẽ làm mất các nghiệm thời gian chờ.