T.3 · Complex analysis and residues

Chuẩn bị GRE đại học. Mục tiêu cục bộ nằm trong phạm vi ETS đã xem xét; đây là giảng dạy nguyên bản, không phải bài thi chính thức hoặc dự đoán điểm số.

Tiền đề: Phép toán phức, đạo hàm riêng, chuỗi số và đường biên định hướng.

• Kiểm tra tính khả vi phức
• Sử dụng tích phân đường biên và thặng dư
• Tính toán tích phân đường biên với thặng dư của cực đơn và cực bậc cao

analytic: Khả vi phức toàn bộ trong một lân cận.

residue: Hệ số của (z−a)^−1 trong khai triển Laurent.

Viết f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Tính khả vi phức đặt ra u_x=v_y và u_y=−v_x; với đạo hàm riêng cấp một liên tục tại địa phương, các phương trình Cauchy–Riemann thiết lập tính giải tích tại đó. Chúng khác với tính khả vi thực của ánh xạ hai tọa độ. Hàm liên hợp x−iy không thỏa mãn các phương trình này trên mọi lân cận mở, mặc dù các đạo hàm riêng thực tồn tại. Hãy nêu vùng cần kiểm tra, không chỉ một điểm thuận tiện.

Một hàm giải tích khả vi phức toàn bộ trong một lân cận và có chuỗi lũy thừa hội tụ cục bộ. Một điểm kỳ dị loại bỏ có thể được lấp đầy bằng cách giải tích khi hàm bị chặn gần điểm bị thiếu. Một cực có phần chính hữu hạn trong khai triển Laurent của nó; một điểm kỳ dị thiết yếu có vô hạn nhiều số hạng lũy thừa âm. Thặng dư là hệ số của (z−a)⁻¹, không nhất thiết là số hạng âm đầu tiên hay lớn nhất.

Đối với cực cô lập bậc m, viết f(z)=g(z)/(z−a)^m với g giải tích tại a. Thặng dư là g^(m−1)(a)/(m−1)!. Cực đơn sử dụng g(a); cực kép sử dụng g′(a). Điều này suy ra từ việc khai triển g thành chuỗi Taylor. Do đó e^z/(z−a)² có thặng dư là e^a, trong khi tử số là hằng số trên cực kép thuần túy có thặng dư bằng không. Bậc của cực duy nhất không xác định tích phân đường biên.

Đối với đường biên định hướng dương bao quanh các điểm kỳ dị cô lập, định lý thặng dư cho ∮f(z)dz=2πi nhân với tổng các thặng dư bị bao, miễn là hàm giải tích trên đường biên và ở những nơi khác trong miền bên trong yêu cầu. Đảo ngược hướng sẽ thay đổi dấu. Công thức đạo hàm Cauchy là ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! dưới các giả thuyết về miền giải tích của nó. Một điểm kỳ dị nằm trên đường biên ngăn cản việc áp dụng trực tiếp; một điểm kỳ dị nằm ngoài đóng góp gì đó cho đường biên này.

Đối với f(z)=conjugate(z), ta có u=x và v=−y. Khi đó u_x=1 nhưng v_y=−1, nên f không khả vi phức. Đối với 1/(z−2), một đường tròn hướng dương |z−2|=1 bao quanh một cực đơn giản có thặng dư 1, do đó tích phân bằng 2πi.

Tính liên tục hoặc khả vi thực đơn lẻ không suy ra được tính giải tích phức.

Sử dụng các phương trình Cauchy–Riemann để so sánh $z^2$ và $\overline z$. Tìm thặng dư của $e^z/z^2$ tại zero và tích phân của nó quanh vòng tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ.

Giải mẫu

Đối với $z^2$, $u=x^2-y^2$ và $v=2xy$: $u_x=2x=v_y$ và $u_y=-2y=-v_x$. Các đạo hàm riêng liên tục trên khắp nơi, nên hàm giải tích trên khắp nơi. Đối với $\overline z$, $u=x,v=-y$ và $u_x=1\ne-1=v_y$; nó không khả vi phức ở bất kỳ đâu. Vì $e^z=1+z+z^2/2+\cdots$, hệ số của $z^{-1}$ trong $e^z/z^2$ là 1. Do đó thặng dư là 1 và tích phân là $2\pi i$. Cực kép không bắt buộc phải có thặng dư bằng không.

Tích phân $1/[z(z-2)]$ quanh $|z|=1$, trước tiên ngược chiều kim đồng hồ và sau đó cùng chiều kim đồng hồ. Có thể sử dụng lập luận định lý thặng dư tương tự trên $|z|=2$ không?

Kiểm tra sau khi đã làm

Chỉ có zero nằm bên trong vòng tròn đơn vị. Thặng dư của nó là $\lim_{z\to0}1/(z-2)=-1/2$. Do đó, tích phân ngược chiều kim đồng hồ là $-\pi i$ và tích phân cùng chiều kim đồng hồ là $\pi i$. Cực tại 2 nằm ngoài và không đóng góp gì. Đường tròn $|z|=2$ đi qua cực. Tích phân đường thông thường không được xác định bởi công thức này; định lý yêu cầu tính giải tích trên biên. Một sự lún hoặc quy tắc giá trị chính sẽ là một bài toán khác, được chỉ định rõ ràng.