A.2 · Abstract algebra and number theory

GRE Subject Test · GRE Mathematics · Chủ đề 4

Phạm vi và yêu cầu tiên quyết

Chuẩn bị GRE đại học. Mục tiêu cục bộ nằm trong phạm vi ETS đã xem xét; đây là giảng dạy nguyên bản, không phải bài thi chính thức hoặc dự đoán điểm số.

Kiến thức nền tảng: Phép tính số nguyên, tập hợp, hàm số và chứng minh bằng phản ví dụ.

Sử dụng nhóm, nhóm con, đồng cấu và cấu trúc thương
Phân biệt giữa vành, miền nguyên và trường
Áp dụng tính chia hết, đồng dư và lý thuyết số sơ cấp

đồng cấu: Một ánh xạ bảo toàn phép toán liên quan.

field: A commutative ring where each nonzero element has an inverse.

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
homomorphism/ˈhɒməmɔːfɪzəm/	Đồng cấu
field/fiːld/	Trường số

Chọn và biện minh cho một phương pháp

Một nhóm cần tính đóng, tính kết hợp, phần tử trung hòa và phần tử nghịch đảo. Tính giao hoán là một điều kiện bổ sung.

Một đồng cấu bảo toàn phép toán. Nhân của nó là một nhóm con chuẩn và xác định các phần tử ánh xạ đến phần tử trung hòa.

Một trường cho phép chia cho mọi phần tử khác không. Các số nguyên tạo thành một vành nhưng không phải là trường.

Làm việc với các đồng dư theo mô-đun n. Một thặng dư a có nghịch đảo nhân khi và chỉ khi gcd(a,n)=1.

Ví dụ giải thích chi tiết

Modulo 8, 3 có nghịch đảo là 3 vì 3·3=9≡1. Nhưng 2 không có nghịch đảo vì gcd(2,8)=2. Modulo một số nguyên tố, mọi thặng dư khác không đều có nghịch đảo; điều này tạo thành một trường hữu hạn.

Bảng: Trong số học mod 5, các đơn vị là 1, 2, 3, 4; trong số học mod 6 chỉ có 1 và 5, vì 2 × 3 = 0 — Mod 5 mọi dư số khác 0 đều khả nghịch; mod 6 các ước không 2 và 3 thì không

Điều kiện và phản ví dụ

Không được rút gọn một thừa số trong phương trình mô-đun mà không kiểm tra xem nó có khả năng nghịch đảo hay không.

Ứng dụng hướng dẫn

So sánh các nhóm cộng và cấu trúc nhân của $\mathbb Z/5\mathbb Z$ và $\mathbb Z/6\mathbb Z$. Liệt kê tất cả các đơn vị nhân trong mỗi loại. Giải thích tại sao việc loại bỏ phần tử không không luôn để lại một nhóm nhân.

Giải mẫu

Cả hai tập thặng dư nguyên đều là các nhóm cộng: tính đóng, tính kết hợp và phần tử trung tính đến từ phép cộng số nguyên, và $-a$ là phần tử đối additive. Một thặng dư nhân là một đơn vị chính xác khi ước chung lớn nhất của nó với mô-đun bằng một. Các đơn vị theo mô-đun năm là $1,2,3,4$; theo mô-đun sáu chúng là $1,5$. Theo mô-đun sáu, $2\cdot3=0$ mặc dù cả hai thừa số đều khác không. Tập khác không thậm chí còn không đóng dưới phép nhân. Theo mô-đun năm, mọi thặng dư khác không đều có nghịch đảo; vành này là một trường. Một vành, nhóm cộng của nó và nhóm đơn vị của nó là những cấu trúc khác nhau.

Chuyển giao độc lập

Phép thu gọn $\phi:\mathbb Z\to\mathbb Z/6\mathbb Z$ được cho bởi $\phi(n)=[n]$. Xác định nhân, ảnh và thương của nó. Giải $2x\equiv2\pmod6$ hoàn toàn và giải thích tại sao việc rút gọn 2 theo mô-đun 6 thất bại.

Kiểm tra sau khi đã làm

Phép ánh xạ bảo toàn phép cộng và phép nhân. Nhân của nó là $6\mathbb Z$ và ảnh của nó bao gồm tất cả sáu thặng dư. Thương xác định các số nguyên có cùng dư, nên $\mathbb Z/\ker\phi\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$. Đồng dư có nghĩa là $6\mid2(x-1)$, tương đương với $3\mid x-1$. Do đó $x\equiv1\pmod3$, cho các thặng dư $1$ và $4$ theo mô-đun sáu. Cả hai đều thay thế đúng. Việc rút gọn 2 trong khi giữ nguyên mô-đun sáu sẽ loại bỏ 4; 2 không có nghịch đảo nhân ở đó.