T.12 · Metric completeness and closure from a basis

Chuẩn bị GRE đại học. Mục tiêu cục bộ nằm trong phạm vi ETS đã xem xét; đây là giảng dạy nguyên bản, không phải bài thi chính thức hoặc dự đoán điểm số.

Tiền đề: Axiom metric, dãy Cauchy và tô pô từ một cơ sở.

• Kiểm tra metric kéo ngược thông qua các tính chất của ánh xạ xác định nó
• Quyết định tính đầy đủ thông qua ảnh của phép đồng đẳng khoảng cách
• Xác định bao đóng bằng cách sử dụng mọi lân cận cơ bản thay vì trực giác Euclid

không gian metric đầy đủ: Một không gian metric trong đó mọi dãy Cauchy hội tụ về một điểm thuộc không gian đó.

cơ sở lân cận: Các lân cận cơ bản đủ để kiểm tra các tính chất tô pô cục bộ.

Đối với ánh xạ injective h:X→R, d(x,y)=|h(x)−h(y)| là một metric: tính đối xứng và bất đẳng thức tam giác đến từ R, và tính injective đảm bảo d(x,y)=0 chỉ khi x=y. Ánh xạ h là một isometry lên ảnh h(X). Nếu h không injective, phép xây dựng này có thể chỉ là pseudometric. Khoảng cách bị chặn không chứng minh một không gian hoàn chỉnh, và một tập điểm quen thuộc có thể có hành vi Cauchy rất khác nhau dưới các metric khác nhau.

Metric kéo về hoàn chỉnh chính xác khi ảnh h(X) hoàn chỉnh trong khoảng thực thông thường. Một tập con đóng của R là hoàn chỉnh. Với h(x)=arctan x trên R, ảnh là (−π/2,π/2), bỏ sót các đầu mút. Dãy n là Cauchy trong metric kéo về vì arctan n→π/2, nhưng không có x thực nào có arctan x=π/2, nên metric không hoàn chỉnh. Với h(x)=x³, ảnh là toàn bộ R và metric kéo về là hoàn chỉnh. Tương đương topo duy chỉ không bảo toàn tính hoàn chỉnh.

Trong một topo có cơ sở, x nằm trong bao đóng của A khi mỗi lân cận mở cơ sở của x đều giao với A. Đây là bài toán kiểm tra thành viên, không tự động là thao tác biên Euclid. Cơ sở phải phủ không gian, và với một điểm thuộc hai tập cơ sở thì phải có một tập cơ sở nhỏ hơn chứa điểm đó trong giao của chúng. Một điểm có thể nằm trong bao đóng của một tập một phần tử ngay cả khi nó không phải là chính phần tử đó; khả năng này phụ thuộc vào topo.

Trên X={2,3,4,…}, lấy các tập cơ sở U_k={n in X: n divides k}, với k≥2. Chúng phủ X vì x∈U_x; giao là U_gcd(k,l) khi gcd ≥ 2, hoặc rỗng. Điểm x nằm trong bao đóng của {n} chính xác khi mọi k chia hết cho x cũng chia hết cho n: tương đương n chia hết cho x. Trực tiếp hơn, lân cận cơ sở nhỏ nhất U_x chứa n precisely khi n chia hết cho x, và mọi lân cận khác chứa x đều bao gồm các ước số này. Vậy bao đóng của {8} gồm các bội dương của 8, không phải ước của 8.

Dưới metric d(x,y)=|arctan x−arctan y|, dãy số nguyên tiến về một điểm cuối bị thiếu trong ảnh thay vì một điểm của R, nên nó là dãy Cauchy nhưng không hội tụ trong không gian đó. Trong cơ sở ước số, 16 nằm trong bao đóng của {8}, vì bất kỳ tập cơ sở nào chứa 16 cũng chứa 8. Nhưng 4 không nằm ở đó: U_4={2,4} là một lân cận của 4 mà thiếu 8. Điều này tách biệt rõ ràng các bội số khỏi các ước số.

Một giới hạn Cauchy phải thuộc cùng không gian. Tính hoàn chỉnh là một tính chất metric, không chỉ là tính chất topological. Đối với bao đóng, hãy kiểm tra mọi lân cơ của điểm ứng viên, thay vì mọi lân cơ của giá trị tập đơn element.

Trên $\mathbb R$, so sánh $d_1(x,y)=|x^3-y^3|$ và $d_2(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$. Chứng minh chúng là các độ đo và quyết định tính hoàn chỉnh.

Giải mẫu

Cả hai ánh xạ định nghĩa đều đơn điệu, tạo ra sự tách biệt dương; khoảng cách tuyệt đối mang lại tính đối xứng và bất đẳng thức tam giác. Mỗi ánh xạ là một phép đồng dạng lên ảnh thực của nó. Ánh xạ lập phương có ảnh là toàn bộ $\mathbb R$, một không gian hoàn chỉnh, nên d1 là hoàn chỉnh. Ảnh arctangent là khoảng mở $(-\pi/2,\pi/2)$, không hoàn chỉnh. Dãy n là Cauchy theo d2 vì arctan n tiến tới pi/2, nhưng không có điểm thực nào có ảnh đó, do đó nó không có giới hạn theo d2. Các giá trị độ đo bị chặn không suy ra tính hoàn chỉnh.

Trên $X=\{2,3,4,\ldots\}$, sử dụng cơ sở ước $U_k=\{n\in X:n\mid k\}$. Tìm bao đóng của $\{6\}$ và phần trong của $\{6\}$. Kiểm tra các điều kiện cơ sở, bao gồm cả giao rỗng.

Kiểm tra sau khi đã làm

Mọi x thuộc Ux. Một giao là $U_{\gcd(k,l)}$ nếu gcd lớn hơn hoặc bằng hai, và là rỗng khi gcd bằng một. Do đó, một điểm trong giao có một lân cận cơ bản nằm bên trong nó. Lân cận cơ bản nhỏ nhất của x là Ux, chứa trong mọi Uk chứa x. Nó cắt {6} chính xác khi $6\mid x$. Vì vậy, bao đóng là $\{6,12,18,\ldots\}$, các bội số của sáu. Điểm sáu không phải là phần trong của tập đơn tử vì U6 cũng chứa hai và ba. Không có điểm nào khác trong tập đơn tử này, nên phần trong của nó là rỗng. Tính toán bao đóng này sử dụng tất cả các lân cận cơ bản, không dựa vào trực giác Euclid.