Đối với đại lượng V phụ thuộc vào độ sâu h(t) đang thay đổi, quy tắc chuỗi cho dV/dt=V′(h) dh/dt. Một bể chứa đang xả nước có dh/dt<0, do đó dV/dt mang dấu âm; độ lớn dòng chảy ra là giá trị âm của nó. Vẽ hình học và gọi tên độ sâu tức thời trước khi thay số. Đừng coi tốc độ như một thể tích tĩnh chia cho thời gian trôi qua trừ khi tình huống thực sự chỉ định một tốc độ trung bình không đổi.
Một bồn cầu hình cầu bán kính R có tiết diện tại độ sâu h từ đáy là bình phương bán kính tiết diện R²−(R−h)²=2Rh−h². Tích phân các diện tích tròn này cho thể tích phần nón V(h)=π(Rh²−h³/3), với 0≤h≤2R. Đạo hàm của nó π(2Rh−h²) chính là diện tích tiết diện tức thời. Tại R=3, h=1, dh/dt=−1/4, tốc độ thay đổi thể tích có dấu là −5π/4 và độ lớn dòng chảy ra là 5π/4. Công thức này áp dụng được cho cả phần nón nông và sâu trong khoảng nêu trên.
Nếu f và g khả vi liên tục gần zero, f(0)=g(0)=0 và g′(0)≠0, thì f(x)/g(x) tiến tới f′(0)/g′(0). Điều này suy ra từ f(x)=f′(0)x+o(x) và g(x)=g′(0)x+o(x); tính liên tục của g′ giữ cho thương xác định gần đó ngoại trừ tại zero. Điền vào giới hạn này sẽ tạo ra một sự mở rộng liên tục. Lập luận này không yêu cầu f′(0) khác không, và nó cũng không chứng minh thương mở rộng là khả vi.
Với f(x)=x|x| và g(x)=x, cả hai đều khả vi liên tục, f(0)=g(0)=0 và g′(0)=1. Thương của chúng với x≠0 là |x|, mở rộng liên tục tại 0 nhưng có đạo hàm trái-phải không bằng nhau tại đó. Với (f²−f)/(2g−g³), phân tích thành (f/g)(f−1)/(2−g²); giới hạn có thể loại bỏ là −f′(0)/(2g′(0)). Các thừa số phụ tiến tới −1 và 2. Phân biệt giới hạn của thương với đạo hàm của sự mở rộng.
