A.1 · Linear algebra

Chuẩn bị GRE đại học. Mục tiêu cục bộ nằm trong phạm vi ETS đã xem xét; đây là giảng dạy nguyên bản, không phải bài thi chính thức hoặc dự đoán điểm số.

Tiền đề: Phương trình tuyến tính, nhân ma trận, đa thức và nghiệm phức.

• Liên hệ rank, nullity và nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
• Phân tích không gian vector và ánh xạ tuyến tính
• Tính toán giá trị riêng, định thức và điều kiện chuẩn hóa

rank: Dimension của ảnh (image) của ánh xạ tuyến tính.

eigenvalue: Một vô hướng thỏa mãn Av=λv với v khác zero.

Một không gian vector thực đóng dưới phép cộng và nhân vô hướng đã chỉ định, và thỏa mãn các tiên đề không gian vector. Một cơ sở là danh sách độc lập bao phủ: mỗi vector có biểu diễn tọa độ duy nhất trong danh sách đó. Để kiểm tra tính độc lập của các cột ma trận, giải hệ đồng nhất Ac=0; chỉ có vector hệ số zero mới có nghĩa là độc lập. Một tập bao phủ có thể chứa các vector thừa, vì vậy bản thân việc bao phủ không tạo thành một cơ sở.

Row reduction exposes pivots and free variables without changing the solution set of a linear system. Rank is the dimension of the column image, equivalently the number of pivots. Nullity is the kernel dimension: for a map from an n-dimensional domain, rank+nullity=n. In a nonhomogeneous system, a zero coefficient row with nonzero right side means inconsistency; free variables give infinitely many solutions only after consistency has been established. The codomain dimension need not equal rank.

A square matrix is invertible exactly when its determinant is nonzero, its kernel is zero and its rank equals its size. These statements do not require each entry to be nonzero. Triangular determinants are products of diagonal entries, so a matrix depending on a complex variable can be singular at complex roots absent from a real-only calculation. Row swaps reverse determinant sign; adding a multiple of one row to another leaves it unchanged. Check singularity before applying an inverse formula.

An eigenvector is nonzero and satisfies Av=λv, so eigenvalues are roots of det(A−λI). Diagonalisation requires a full independent eigenvector basis over the chosen field. Distinct eigenvalues give independent eigenvectors, while repeated eigenvalues may have too small an eigenspace. A real symmetric matrix has a real orthonormal eigenbasis. A real odd-dimensional matrix has at least one real eigenvalue because its real characteristic polynomial has odd degree; that alone does not imply diagonalisation or all eigenvalues real.

A=[[1,1],[0,1]] có đa thức đặc trưng (1−λ)². Các vector riêng thỏa y=0, nên không gian riêng có dimension một. Cần hai vector riêng độc lập để chéo hóa ma trận 2×2; A không chéo hóa được.

Bội số đại số của một giá trị riêng không tự động bằng chiều của không gian riêng tương ứng.

Đối với $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ với $T(x,y,z)=(x+2y+z,2x+4y+2z)$, hãy tìm các cơ sở của nhân và ảnh. Giải $T(v)=(3,6)$ và $T(v)=(3,7)$.

Giải mẫu

Dòng thứ hai gấp đôi dòng đầu tiên, nên bậc bằng 1. Phương trình thuần nhất cho $x=-2y-z$.

Hai vector hiển thị là độc lập. Mọi đầu ra đều là $(s,2s)$, và $(1,2)$ xuất hiện; đây là cơ sở ảnh. Bậc cộng nullity là $1+2=3$, chiều của miền xác định. Đối với $(3,6)$, mọi nghiệm đều là $(3-2a-b,a,b)$, với $a,b\in\mathbb R$. Đối với $(3,7)$, không có nghiệm nào, vì $7\ne2\cdot3$.

Cho $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$. Xác định các giá trị riêng, định thức và khả năng phân tích thành ma trận chéo của nó trên $\mathbb R$ và $\mathbb C$. Tìm $A^n$ cho các số nguyên $n\ge1$ mà không cần nhân nhiều lần.

Kiểm tra sau khi đã làm

Đa thức đặc trưng là $(2-\lambda)^2$ và $\det A=4$. Giải $(A-2I)v=0$ cho ra $v_2=0$, do đó không gian riêng có dimension một trên cả hai trường. Cần hai vector riêng độc lập; ma trận khả nghịch nhưng không thể khái quát hóa trên cả hai trường. Viết $A=2I+N$ dưới dạng $N^2=0$. Khai triển nhị thức giao hoán chỉ còn lại hai số hạng:

Nhân biểu thức này với $A$ sẽ thu được công thức tại $n+1$, kiểm tra độc lập hệ số.