Tích phân theo phần xuất phát từ quy tắc đạo hàm của tích: ∫u dv=uv−∫v du. Đối với tích phân xác định, cần bao gồm cả số hạng biên ở hai đầu. Với I_n(x)=∫₁ˣ(ln t)^n dt, chọn u=(ln t)^n và dv=dt. Với n≥1, biên dưới triệt tiêu, dẫn đến I_n=x(ln x)^n−n I_(n−1). Dấu cộng sẽ vi phạm đẳng thức đã đạo hàm. Giữ nguyên giới hạn dưới trong công thức truy hồi; thay đổi nó sẽ làm thay đổi các hằng số.
Đối với tích phân bất thường, trước tiên áp dụng đẳng thức trên các biên hữu hạn, sau đó chứng minh tính hợp lý của biên giới hạn và tích phân còn lại. Nếu ∫₋∞^∞e^(−x²)dx=√π, đặt u=x và dv=x e^(−x²)dx cho ∫x²e^(−x²)dx. Vì v=−e^(−x²)/2 và x e^(−x²)→0 tại vô cùng hai phía, moment bậc hai toàn phần là √π/2. Tính chẵn lẻ mang lại moment nửa đường thẳng dương là √π/4. Số hạng biên triệt tiêu là một phần của lập luận, không phải là thuộc tính tự động của mọi tích phân bất thường.
To reverse ∫₀¹∫ₓ¹F(x,y)dy dx, describe the triangle 0≤x≤y≤1, then rewrite it as ∫₀¹integral from 0 to yF(x,y)dx dy. Both the outer interval and inner bounds change; swapping symbols alone changes the region. For F=e^(y²), integrating over x first gives ∫₀¹y e^(y²)dy=(e−1)/2. Continuity on this compact triangle makes order reversal valid; singular or conditionally convergent cases require stronger care.
Nếu một hàm khả tích trên [a,b] thỏa mãn f(a+b−x)=−f(x), phản xạ khiến tích phân của nó bằng nghịch đảo của chính nó, do đó bằng 0. Với sin(2mx)/sin x trên [0,π] với m là số nguyên dương, phản xạ x↦π−x đổi dấu tử số nhưng giữ nguyên mẫu số. Các kỳ dị apparent tại biên có thể loại bỏ được: giới hạn là 2m tại 0 và −2m tại π. Kiểm tra các giới hạn này trước khi invoked đối xứng; sự triệt tiêu không thay thế cho tính khả tích.
