Phân tích A=LU biểu diễn một ma trận vuông dưới dạng tam giác dưới L và tam giác trên U. Với đường chéo đơn vị L, thế tiến lên đặc biệt đơn giản. Một ma trận khả nghịch có thể không nhận được dạng này nếu không hoán vị dòng: một chốt dẫn đầu bằng không có thể yêu cầu một hoán vị. Đối với PA=LU, giải Ly=Pb, sau đó Ux=y. Hoán vị tác động lên cả vế phải cũng như ma trận hệ số. Các chốt chính tiền tố khác không chứng minh việc loại bỏ không cần hoán vị thông thường, chứ không chỉ riêng tính khả nghịch.
Trong Ly=b, tính y từ trên xuống dưới, trừ các số hạng đã biết; chia cho phần tử chính diagonal hiện tại trừ khi nó bằng một. Trong Ux=y, tính x từ dưới lên trên. Với mỗi phương trình, thế lại vào hàng ban đầu để kiểm tra. Tái sử dụng LU cho nhiều vế phải giúp tránh lặp lại quá trình khử: phân tích chặt mất công thức bậc ba theo kích thước, trong khi mỗi giải hệ tam giác chỉ tốn công thức bậc hai. Tính toán chính xác có thể dùng để kiểm tra các ví dụ nhỏ; hoán vị số giúp giảm bớt một số vấn đề làm tròn nhưng không thể loại bỏ hoàn toàn sự sai số điều kiện.
Đối với B:V→W và A:W→Z, ker B nằm trong ker(A∘B), nhưng cái sau có thể lớn hơn. Các vector bổ sung là những vector được B ánh xạ vào ker A. Giới hạn B trên ker(A∘B): ảnh của nó là im B∩ker A và hạt nhân của nó là ker B. Định lý hạng-không áp dụng cho phép giới hạn này cho ta dim ker(A∘B)=dim ker B+dim(im B∩ker A). Giao, chứ không phải toàn bộ hạt nhân của A, quyết định phần không rỗng bổ sung.
Đối với tự đồng cấu của R⁶ với nullity A=2 và nullity B=3, rank B=3 và chiều giao có thể dao động từ 0 đến 2. Do đó nullity của A∘B nằm trong khoảng từ 3 đến 5. Các cận phụ thuộc vào không gian trung gian chung: đối với các không gian con có dimension r và s trong không gian m chiều, giao của chúng có dimension nằm giữa max(0,r+s−m) và min(r,s). Đảo ngược thứ tự hợp thành có thể thay đổi nullity của nó, mặc dù cả AB và BA đều được xác định. Hãy chọn các không gian tương thích trước khi áp dụng các công thức này.
