C.10 · Implicit differentiation and the inverse Jacobian

Chuẩn bị GRE đại học. Mục tiêu cục bộ nằm trong phạm vi ETS đã xem xét; đây là giảng dạy nguyên bản, không phải bài thi chính thức hoặc dự đoán điểm số.

Kiến thức nền tảng: Quy tắc chuỗi, đảo ma trận và giả thiết về nghịch đảo cục bộ.

• Đạo hàm một hệ thống ẩn liên kết dưới dạng hệ phương trình tuyến tính
• Sử dụng định thức Jacobian khác không để chứng minh sự tồn tại của nghịch đảo cục bộ
• Phân biệt đạo hàm riêng của nghịch đảo với quy tắc nghịch đảo vô hướng

Ma trận Jacobian: Ma trận gồm các đạo hàm riêng bậc nhất của một ánh xạ vector-valued.

Nghịch đảo cục bộ: Nghịch đảo được xác định trên các lân cận của một điểm đầu vào và đầu ra cụ thể.

Đối với ánh xạ khả vi F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v)), Jacobian của nó là J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]]. Những thay đổi nhỏ thỏa mãn [dx,dy] (chuyển vị)=J[du,dv] (chuyển vị) xấp xỉ bậc nhất. Để tìm u_x trong khi giữ y không đổi, đạo hàm cả hai phương trình xác định theo x: f_u u_x+f_v v_x=1 và g_u u_x+g_v v_x=0. Đây là một hệ phương trình tuyến tính liên kết, chứ không phải hai quy tắc nghịch đảo vô hướng độc lập.

Nếu f và g khả vi liên tục gần điểm đó và det J=f_u g_v−f_v g_u khác không tại đó, thì định lý hàm nghịch đảo cung cấp một nghịch đảo cục bộ khả vi. Đạo hàm của nó là J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]]. Do đó u_x=g_v/det J, u_y=−f_v/det J, v_x=−g_u/det J và v_y=f_u/det J. Đánh giá mọi đạo hàm tại điểm tương ứng. Một nghịch đảo cục bộ có thể không mở rộng thành nghịch đảo toàn cục.

Đối với phương trình ẩn H(u,v,x,y)=0 và K(u,v,x,y)=0, lấy đạo hàm trong khi cố định tọa độ độc lập yêu cầu. Giải [[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x] (chuyển vị)=−[H_x,K_x] (chuyển vị). Định thức trong các biến ẩn u,v phải khác không để sử dụng định lý hàm ẩn thông thường. Dấu ở vế phải đến từ việc chuyển các đạo hàm đã biết sang vế kia. Nếu định thức bằng không, định lý này không đưa ra kết luận; bản thân nó không chứng minh rằng không tồn tại nghịch đảo hay nghiệm ẩn nào.

Lời giải rút gọn vô hướng du/dx=1/(dx/du) chỉ đúng với nghịch đảo một biến có đạo hàm khác không, nhưng thường sai đối với hệ ghép vì v thay đổi để giữ y cố định. Đối với x=u+v,y=u+2v, J=[[1,1],[1,2]] có định thức 1 và nghịch đảo [[2,−1],[−1,1]]. Do đó u_x=2 trong khi 1/f_u=1. Một ma trận Jacobian nghịch đảo chuyển đổi độ nhạy vi phân; tích phân đổi biến thay vào đó sử dụng trị tuyệt đối của định thức để nhân tỷ diện tích hoặc thể tích, chứ không phải một phần tử nghịch đảo được chọn.

Lấy x=u²+v và y=u−v. Tại (u,v)=(1,0), giá trị đầu ra là (1,1), và J=[[2,1],[1,−1]] có định thức là −3. Ma trận nghịch đảo là [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]], do đó u_x=1/3 và v_y=−2/3 tại điểm đó. Nhân J với ma trận nghịch đảo này sẽ thu được ma trận đơn vị. reciprocal 1/f_u=1/2 không phải là u_x vì thay đổi u cũng đòi hỏi phải thay đổi v để giữ cho y không đổi.

Vi phân cả hai phương trình và chỉ ra đầu ra nào được giữ cố định. Định thức khác không đảm bảo sự tồn tại của nghịch đảo cục bộ dưới các giả thuyết chính quy; định thức bằng không không phải là bằng chứng cho sự không thể. Sử dụng phần tử nghịch đảo để tính độ nhạy và định thức tuyệt đối cho tích phân.

Giả sử $x=u^2+v,y=u-v$. Tại $(u,v)=(1,0)$, tìm Jacobian nghịch đảo và bốn đạo hàm riêng của nghịch đảo. Kiểm tra bằng cách nhân.

Giải mẫu

Kết quả tương ứng là $(1,1)$. Ma trận Jacobian là $J=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$ với định thức -3, khác không. Các đạo hàm riêng liên tục tạo ra một nghịch đảo cục bộ khả vi. Do đó

Đọc các hàng như (u_x,u_y) và (v_x,v_y), tất cả đều tại output (1,1). Phép nhân cho kết quả là ma trận đơn vị. Đặc biệt $u_x=1/3$, không phải $1/x_u=1/2$: v thay đổi để giữ y không đổi.

Đối với $F(u,v)=(u^2-v^2,2uv)$, quyết định xem đạo hàm của nó có khả nghịch ngoài gốc tọa độ hay không và liệu F có đồng nhất toàn cục trên mặt phẳng khoét gốc tọa độ hay không. Một determinant bằng 0 tại gốc tọa độ khẳng định điều gì nếu xét riêng lẻ?

Kiểm tra sau khi đã làm

$\det DF=4(u^2+v^2)>0$ xa zero, nên định lý hàm nghịch đảo cung cấp một nghịch đảo cục bộ tại mỗi điểm như vậy. Nhưng $F(u,v)=F(-u,-v)$, do đó nó không đơn điệu toàn cục trên mặt phẳng bị xóa điểm gốc. Định thức bằng không tại zero có nghĩa là định lý này không thể đảm bảo một nghịch đảo cục bộ khả vi tại đó. Bản thân điều này không phải là bằng chứng chung về việc không tồn tại nghịch đảo tập hợp cục bộ nào cho bất kỳ ánh xạ nào; ví dụ, ánh xạ bậc ba vô hướng là song ánh mặc dù đạo hàm bằng không tại zero.