Đối với các vectơ thực u, v khác không, u·v=|u||v| cos θ. Tích vô hướng dương, bằng 0 hay âm tương ứng với góc nhọn, vuông hay tù nhỏ hơn. Hình chiếu vô hướng của v dọc theo u là (v·u)/|u|; hình chiếu vectơ là ((v·u)/(u·u))u. Hiệu từ hình chiếu này vuông góc với u. Đừng nhầm lẫn vectơ hình chiếu với thành phần vô hướng có dấu của nó. Vectơ không vuông góc với mọi vectơ nhưng không có hướng góc xác định.
Đối với vectơ ba chiều, u×v vuông góc với cả hai và có độ dài |u||v| sin θ. Tính toán tọa độ sử dụng (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁). Độ dài này chính là diện tích hình bình hành, nên một tam giác từ hai vectơ cạnh sẽ có diện tích bằng nửa diện tích đó. Đảo thứ tự chúng sẽ đảo ngược tích có hướng nhưng giữ nguyên diện tích. Xây dựng cả hai vectơ cạnh từ cùng một đỉnh; lấy tích có hướng của hai vectơ vị trí không liên quan thường sẽ đo sai diện tích tam giác.
Mặt phẳng qua điểm p với vectơ pháp tuyến n khác không có phương trình n·(x−p)=0. Khoảng cách từ q đến mặt phẳng là |n·(q−p)|/|n|; mẫu số chuẩn hóa thang đo của phương trình. Tích hỗn tạp u·(v×w) cho thể tích hình hộp có dấu; giá trị tuyệt đối của nó là thể tích hình học. Tích hỗn tạp bằng không nghĩa là sự phụ thuộc tuyến tính của ba vectơ cạnh, không nhất thiết mỗi cặp đều vuông góc hay song song.
For four planar vectors, there are six unordered dot products. The configuration e₁,−e₁,e₂,−e₂ has two negative products and four zeros; e₁,e₁,e₂,e₂ has two positive products and four zeros. Four nonzero vectors cannot have every pairwise dot product negative. Order their directions around the circle: each consecutive angular gap would have to exceed 90°, forcing the sum of four gaps above 360°. A zero vector cannot rescue a strict-negative requirement, because its dot products vanish.
