T.9 · Similarity, scaling and conic distance loci

Chuẩn bị GRE đại học. Mục tiêu cục bộ nằm trong phạm vi ETS đã xem xét; đây là giảng dạy nguyên bản, không phải bài thi chính thức hoặc dự đoán điểm số.

Kiến thức nền: Tam giác đồng dạng, công thức khoảng cách và phương trình bậc hai.

• Gán đỉnh tam giác theo các góc bằng nhau trước khi lập tỷ số cạnh
• Áp dụng hệ số tỷ lệ chiều dài, diện tích và thể tích đối với các thay đổi hình học
• Xác định điều kiện khoảng cách đường cong và giữ nguyên nhánh hyperbola có dấu

đồng dạng: Sự bằng nhau của các góc tương ứng và tỷ số chung của các độ dài tương ứng.

tiêu điểm: Một điểm cố định được sử dụng trong định nghĩa khoảng cách của đường cong.

Các tam giác đồng dạng khi các góc tương ứng bằng nhau; khi đó các tỷ số cạnh tương ứng cũng bằng nhau. Viết rõ sự tương ứng giữa các đỉnh. Nếu tam giác APQ có góc A bằng góc A của ABC và góc P bằng góc C, thì sự tương ứng có thứ tự là A↔A, P↔C, Q↔B. Như vậy AP/AC=AQ/AB=PQ/CB. Cạnh AP nằm trên AB nhưng tương ứng với AC; gán dựa trên vị trí đặt cạnh hoặc dựa trên ký hiệu P có thể dẫn đến tỷ số sai.

Với hệ số tỷ lệ chiều dài chung k>0, chiều dài nhân với k, diện tích nhân với k² và thể tích nhân với k³. Một sự gia tăng chiều dài 30% nghĩa là k=1.30, do đó sự gia tăng diện tích là 1.30²−1=0.69, hay 69%; nó không phải là 60%. Đối với các khối đồng dạng có tỷ số thể tích là 27, tỷ số chiều dài là 3 và tỷ số diện tích bề mặt là 9. Thay đổi phần trăm và hiệu tuyệt đối là các đại lượng khác nhau; hãy viết tỷ số mới-cũ trước khi chuyển đổi sang phần trăm.

Một đường tròn cố định khoảng cách đến một điểm. Một elip cố định tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm. Một hyperbola cố định độ tuyệt đối của hiệu khoảng cách đó; một parabol cố định bình đẳng khoảng cách đến tiêu điểm và đến trực chuẩn. Đây là định nghĩa của các tập hợp điểm, không phải bản phác thảo cần ghi nhớ. Với các tiêu điểm (−c,0) và (c,0), một elip sử dụng tổng 2a với a>c. Một hyperbola không suy biến sử dụng độ tuyệt đối của hiệu 2a với 0<a<c; một hiệu có dấu phân biệt hai nhánh của nó.

Đối với hyperbola có trục liên tiêu nằm ngang, c²=a²+b² và phương trình là x²/a²−y²/b²=1. Gọi r_A là khoảng cách đến (−c,0) và r_B là khoảng cách đến (c,0). Điều kiện r_A−r_B=2a>0 chọn nhánh bên phải x≥a; điều kiện âm chọn nhánh bên trái. Bình phương có thể mất dấu này, vì vậy hãy kiểm tra điều kiện khoảng cách gốc sau khi thu được phương trình. Hiệu bằng không cho ra đường trung trực thay vì hyperbola; hiệu vượt quá khoảng cách giữa hai tiêu điểm là không thể theo bất đẳng thức tam giác.

Cho AB=10, AC=15 và BC=20. Một điểm P trên AB có AP=6, và Q trên AC tạo ra góc APQ bằng góc ACB. Khi đó AP/AC=6/15=2/5, nên PQ=8 và AQ=4. Riêng lẻ, các tiêu điểm tại (−5,0),(5,0) và khoảng cách đến trái trừ khoảng cách đến phải bằng 6 cho a=3, b²=25−9=16: x²/9−y²/16=1 với x≥3. Điểm (−3,0) thỏa mãn phương trình bình phương nhưng không thỏa điều kiện có dấu.

Khớp góc trước cạnh. Phần trăm diện tích sử dụng bình phương của hệ số độ dài. Một phương trình khoảng cách bình phương có thể mô tả cả hai nhánh ngay cả khi bài toán gốc yêu cầu chỉ một.

Các khối đồng dạng có tỷ số diện tích 9:25. Tìm tỷ số độ dài và thể tích tương ứng của chúng. Giải thích tại sao việc khớp các đỉnh lại quan trọng trước khi thiết lập tỷ số tam giác.

Giải mẫu

Lấy căn bậc hai dương sẽ thu được tỷ số độ dài 3:5. Lũy thừa ba cho tỷ số thể tích 27:125. Tỷ số diện tích không phải là hệ số tỷ lệ độ dài. Các đỉnh tương ứng phải khớp với các góc bằng nhau; nếu không, các tỷ số có thể so sánh các cạnh không liên quan. Sự đồng dạng ở đây là một giả định; chỉ riêng tỷ số diện tích không chứng minh được rằng các khối tùy ý nào đó là đồng dạng.

Với tiêu điểm $A=(-5,0)$ và $B=(5,0)$, tìm quỹ tích $|PA|-|PB|=6$. Suy ra phương trình chính tắc, chọn nhánh và kiểm tra đỉnh trong biểu thức chưa bình phương. Điều gì xảy ra nếu hiệu khoảng cách yêu cầu là 12?

Kiểm tra sau khi đã làm

Viết $r_A=\sqrt{(x+5)^2+y^2}$ và $r_B=\sqrt{(x-5)^2+y^2}$. Điều kiện ban đầu là $r_A-r_B=6$. Vì $r_A^2-r_B^2=20x$, nhân hiệu khoảng cách với tổng của chúng ta được $r_A+r_B=10x/3$. Do đó $r_B=5x/3-3$, điều này phải không âm. Bình phương đẳng thức này cho $(x-5)^2+y^2=(5x/3-3)^2$. Khai triển và gom nhóm thu được $16x^2/9-y^2=16$. Vậy nửa khoảng cách tiêu điểm là c=5, nửa hiệu khoảng cách là a=3, và hyperbola là $x^2/9-y^2/16=1$, sử dụng $b^2=c^2-a^2=16$. Hiệu dương ban đầu chọn nhánh bên phải $x\ge3$. Tại $(3,0)$, các khoảng cách lần lượt là 8 và 2, hiệu bằng sáu; tại $(-3,0)$, hiệu bằng âm sáu. Chỉ bình phương sẽ giữ lại nhánh không hợp lệ này. Một hiệu 12 vượt quá $|AB|=10$ và là bất khả thi theo bất đẳng thức tam giác ngược.