Đạo hàm riêng thay đổi một tọa độ trong khi giữ cố định các tọa độ còn lại. Với f=x²+3xy, ta có f_x=2x+3y và f_y=3x. Vector gradient thu thập các đạo hàm này; nếu f khả vi, đạo hàm theo hướng trên vector đơn vị v là grad f·v. Chuẩn hóa direction trước khi thực hiện tích vô hướng. Một vector chỉ phương có độ dài hai sẽ làm đôi kết quả nếu sử dụng mà không chuẩn hóa.
Khả vi có nghĩa là tồn tại xấp xỉ tuyến tính hợp lệ, không chỉ sự tồn tại của một số đạo hàm riêng tại một điểm. Các đạo hàm riêng bậc nhất liên tục trong một lân cận là điều kiện đủ. Đối với hàm hợp thành f(x(t),y(t)), quy tắc chuỗi cho f_x x′+f_y y′. Đạo hàm bậc hai có thể sinh ra cả các số hạng trực tiếp lẫn hỗn hợp; việc đạo hàm hỗn hợp bằng không đơn thuần không đặt hạn chế nào lên các đạo hàm bậc hai thuần túy.
Tích phân bội tổng quát hóa các đóng góp qua một vùng xác định. Mô tả vùng trước khi chọn giới hạn lặp; các cận không hình chữ nhật có thể thay đổi khi thứ tự tích phân thay đổi. Trong tọa độ cực, phần tử diện tích là r dr dtheta, không chỉ dr dtheta. Phép đổi tọa độ tổng quát sử dụng trị tuyệt đối của định thức Jacobian. Dấu thuộc về các đại lượng vector định hướng, trong khi hệ số co giãn diện tích và thể tích sử dụng nhân tố không âm.
Nếu cả hai đạo hàm riêng bậc nhất của một hàm xác định toàn cục trên R² đều là hằng số, f_x=a và f_y=b, tích phân lần lượt sẽ cho f=ax+by+c, một mặt phẳng. Điều này không thể suy luận từ các đường đẳng mức song song thẳng: e^x có các đường đẳng mức dọc song song nhưng đồ thị cong. Hơn nữa, f_xy=f_yx=0 không bắt buộc tạo ra mặt phẳng: x²+y² là một phản ví dụ. Phân biệt giữa tính hằng số của đạo hàm bậc nhất, sự vắng mặt của phụ thuộc hỗn hợp và hình dạng của các đường đẳng mức được chọn.
