T.6 · Functions, inverse branches and composition

Chuẩn bị GRE đại học. Mục tiêu cục bộ nằm trong phạm vi ETS đã xem xét; đây là giảng dạy nguyên bản, không phải bài thi chính thức hoặc dự đoán điểm số.

Kiến thức nền: Tập xác định, phương trình bậc hai và hợp hàm.

• Phân biệt tính đơn ánh và toàn ánh dựa trên tập xác định và tập giá trị đã cho
• Chọn và kiểm chứng một nhánh nghịch đảo bằng cách hợp theo cả hai chiều
• Theo dõi quá trình hợp hàm lặp lại trong khi vẫn giữ nguyên tập xác định

bijection: Một hàm vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh giữa các tập đã chỉ định của nó.

involution: Một hàm mà khi hợp với chính nó sẽ tạo ra hàm đồng nhất trên tập xác định của nó.

Một hàm gán đúng một giá trị đầu ra cho mỗi giá trị đầu vào được phép. Tính đơn ánh nghĩa là các giá trị đầu ra bằng nhau bắt buộc phải có giá trị đầu vào bằng nhau; tính toàn ánh nghĩa là mọi phần tử của tập giá trị đã cho đều đạt được. Phép ánh xạ xx² từ R đến [0,∞) là toàn ánh nhưng không đơn ánh. Từ [0,∞) đến [0,∞) thì vừa đơn ánh vừa toàn ánh, do đó là bijection. Từ [0,∞) đến R nó vẫn đơn ánh nhưng không còn toàn ánh. Khi kiểm tra từng phát biểu, hãy tách riêng tập xác định, tập ảnh và tập giá trị.

Hàm nghịch đảo đảo ngược một song ánh. Giải y=f(x) để tìm x, sau đó sử dụng miền xác định ban đầu để chọn nhánh. Với f(x)=(x−2)²−5 trên x≥2, hàm nghịch đảo là 2+√(y+5) trên y≥−5. Nhánh trừ sẽ trả về các giá trị đầu vào nằm ngoài miền đã chọn. Kiểm tra f⁻¹(f(x))=x với x hợp lệ và f(f⁻¹(y))=y với y hợp lệ; một phép compose chưa kiểm tra có thể che giấu lỗi miền xác định.

Đồ thị nghịch đảo phản chiếu đồ thị gốc qua đường thẳng y=x; nó không lấy nghịch đảo của các giá trị đầu ra. Một hàm tự nghịch (self-inverse), hay còn gọi là involution, thỏa mãn f(f(x))=x tại mọi nơi mà phép hợp được xác định. Cả −x trên R và 1/x trên R trừ số 0 đều là involutions. Một involution tăng nghiêm ngặt trên một khoảng phải là hàm đồng nhất: nếu f(x)>x, tính tăng sẽ dẫn đến f(f(x))>f(x)>x, và lập luận tương tự loại bỏ trường hợp f(x)<x.

Lặp fⁿ nghĩa là Composition lặp lại, không phải lũy thừa (f(x))ⁿ. Tính toán vài Composition đầu tiên và kiểm tra miền xác định trước khi tìm chu kỳ. Với f(x)=1/(1−x) trên R ngoại trừ 0 và 1, f²(x)=(x−1)/x và f³(x)=x. Ảnh vẫn nằm trong cùng miền cho phép. Do đó hãy rút gọn số lần lặp theo modulo ba. Công thức hiển thị bằng x sau khi triệt tiêu không khôi phục lại các giá trị cấm.

Đối với f(x)=(x−2)²−5 với x≥2, ta có f(5)=4 và f⁻¹(4)=2+√9=5. Đa thức bậc hai không bị giới hạn sẽ có hai đầu vào, −1 và 5, tạo ra cùng một đầu ra 4. Đối với g(x)=1/(1−x), chu kỳ 3→−1/2→2/3→3 có chu kỳ ba, nên g⁸(3)=2/3; việc đếm ở đây liên quan đến số lần thành lập chứ không phải lũy thừa bậc tám.

Thay đổi tập đích thay đổi tính toàn ánh. Phản xạ qua y=x là đồ thị của hàm ngược; nghịch đảo các giá trị y là một phép toán khác. Đừng triệt tiêu các đầu vào bị loại bỏ.

Hạn chế $f(x)=(x-1)^2+2$ lên $x\ge1$. Nêu tập ảnh và hàm nghịch đảo, bao gồm cả tập xác định. Kiểm chứng cả hai phép hợp nghịch đảo.

Giải mẫu

Tập ảnh là $[2,\infty)$. Giải $y=(x-1)^2+2$ kết hợp với $x\ge1$ sẽ chọn $x=1+\sqrt{y-2}$. Như vậy $f^{-1}:[2,\infty)\to[1,\infty)$ có công thức đó. Đối với x được phép, $1+\sqrt{(x-1)^2}=x$ vì $x-1\ge0$. Đối với y được phép, $(\sqrt{y-2})^2+2=y$. Nhánh căn bậc hai âm thuộc về một hạn chế khác, không phải là một nhánh nghịch đảo thứ hai trên tập xác định này.

Cho $h(x)=1/(1-x)$. Xác định tập xác định của $h\circ h\circ h$ và công thức của nó. Có thể mở rộng biểu thức rút gọn sang các điểm bị loại bỏ mà không làm thay đổi hợp hàm ban đầu?

Kiểm tra sau khi đã làm

Giai đoạn đầu tiên yêu cầu $x\ne1$. Giai đoạn thứ hai yêu cầu $h(x)\ne1$, điều này loại trừ x=0. Đối với $x\ne0,1$, ta có $h^2(x)=(x-1)/x$. Điều này không bao giờ bằng 1, nên giai đoạn thứ ba không thêm điểm loại nào. Sau đó $h^3(x)=x$ trên $\mathbb R\setminus\{0,1\}$. Công thức đồng nhất được xác định rộng hơn, nhưng việc thêm 0 hoặc 1 sẽ tạo thành một sự mở rộng, không phải là hợp hàm ban đầu. Mỗi giá trị đầu vào trung gian đều phải được phép trước khi triệt tiêu.