C.7 · Coordinate changes and vector integral theorems

Chuẩn bị GRE đại học. Mục tiêu cục bộ nằm trong phạm vi ETS đã xem xét; đây là giảng dạy nguyên bản, không phải bài thi chính thức hoặc dự đoán điểm số.

Kiến thức nền: Tích phân bội, đạo hàm riêng và biên có hướng.

• Biến đổi tích phân kép và ba với Jacobian tương ứng
• Áp dụng các định lý Green, Stokes và phân kỳ với hướng đúng
• Kiểm tra các điểm kỳ dị của miền xác định trước khi khẳng định tính độc lập của đường đi

phân kỳ: Tổng các đạo hàm riêng theo từng tọa độ của một trường vector, đo lường dòng chảy cục bộ hướng ra ngoài.

trường bảo toàn: Một trường vector bằng gradient của một hàm thế vô hướng, với các tích phân đường độc lập với đường đi.

Thay đổi biến số sẽ thay đổi diện tích hoặc thể tích theo hệ số ma trận Jacobian tuyệt đối. Tọa độ cực sử dụng r dr dtheta; tọa độ trụ sử dụng r dr dtheta dz; tọa độ cầu với góc phi đo từ trục z dương sử dụng rho² sin(phi) dρ dphi dtheta. Nêu rõ quy ước góc và chuyển đổi cả hàm dưới dấu tích phân lẫn miền tích phân. Việc thiếu Jacobian sẽ biến tích phân mật độ đều thành đại lượng vật lý sai.

Định lý Green liên kết tích phân lưu thông dọc theo biên phẳng có hướng dương P dx+Q dy với tích phân kép của Q_x−P_y trên miền. Các giả thiết tiêu chuẩn yêu cầu các đạo hàm bậc nhất liên tục trên tập mở chứa miền. Một lỗ hổng cần có biên trong có hướng âm riêng biệt, hoặc cách xử lý miền bị thiếu hợp lệ khác. Định lý không thể áp dụng để tích phân vượt qua điểm kỳ dị của trường.

Định lý Stokes liên kết lưu thông trên biên mặt phẳng với tích phân mặt của curl F dot normal có hướng. Quy tắc bàn tay phải liên kết hướng biên với normal. Định lý phân kỳ liên kết thông hướng ra ngoài qua bề mặt kín với tích phân thể tích của div F. Lưu thông, thông, cuộn (curl) và phân kỳ là các khái niệm riêng biệt; bề mặt kín là bắt buộc cho định lý phân kỳ tiêu chuẩn.

Trường gradient có tích phân đường độc lập với đường đi, được xác định bởi hiệu thế năng giữa hai đầu mút. Một trường không xoáy có đạo hàm liên tục trên miền mở đơn liên là bảo toàn. Chỉ riêng điều kiện không xoáy trên miền có lỗ hổng là chưa đủ. Đối với F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²)), gốc tọa độ bị loại trừ; lưu thông quanh vòng tròn đơn vị là 2π, mặc dù xoáy bằng 0 ở mọi nơi trường xác định.

Đối với F=(x,y,z), phân kỳ là 3. Do đó, lưu thông hướng ra ngoài qua hình cầu bán kính 2 là 3 lần thể tích của nó, hay 3·(4π·2³/3)=32π. Cách làm này tránh được việc tham số hóa bề mặt. Đối với trường phẳng (−y,x), định lý Green cho lưu thông đơn vị ngược chiều kim đồng hồ của vòng tròn là tích phân của 1−(−1)=2 trên đĩa, suy ra 2π. Đảo ngược chiều hướng sẽ đổi dấu lưu thông.

Độ xoáy bằng không là chưa đủ khi miền có lỗ hổng. Lưu thông hướng ra ngoài và lưu thông ngược chiều kim đồng hồ sử dụng các định lý và quy tắc hướng khác nhau.

Tính $\iint_D(x^2+y^2)\,dA$ trên $1\le x^2+y^2\le4$. Tìm thông lượng hướng ngoài của $F=(x,y,z)$ qua mặt cầu đơn vị.

Giải mẫu

Vùng hình vành đai có giới hạn cực $1\le r\le2$, $0\le\theta\le2\pi$. Bao gồm Jacobian,

F vi phân liên tục trên toàn quả bóng và có phân kỳ bằng ba. Định lý phân kỳ cho thông hướng ra ngoài là $3(4\pi/3)=4\pi$. Hướng âm sẽ đảo ngược dấu của nó.

Cho $G=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$ trên mặt phẳng đã khoét gốc. Curl vô hướng của nó bằng không tại đó. Tính lưu thông của nó trên vòng tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ. Giải thích tại sao định lý Green không khiến nó bằng không.

Kiểm tra sau khi đã làm

Tham số hóa $r(t)=(\cos t,\sin t)$ cho $0\le t\le2\pi$. Khi đó $G(r(t))=(-\sin t,\cos t)=r'(t)$, nên $G\cdot r'=1$ và tích phân là $2\pi$. Trường không xác định tại gốc tọa độ nằm bên trong đĩa. Định lý Green yêu cầu tính trơn (smoothness) cần thiết trên một lân cận của miền, chứ không chỉ trên biên của nó. Curl bằng không trên miền có lỗ hổng không khẳng định sự tồn tại của thế toàn cục; một trường đóng không chính xác có thể tạo lưu thông quanh lỗ hổng của nó.