C.6 · Multivariable extrema and constrained optimisation

Chuẩn bị GRE đại học. Mục tiêu cục bộ nằm trong phạm vi ETS đã xem xét; đây là giảng dạy nguyên bản, không phải bài thi chính thức hoặc dự đoán điểm số.

Kiến thức nền tảng: Đạo hàm riêng, dạng toàn phương, tính compact và ràng buộc.

• Phân loại các điểm cực trị hai biến với ma trận Hessian
• Sử dụng nhân tử Lagrange với ràng buộc chính quy
• So sánh các giá trị cực đại/min và giá trị đạt được dưới các ràng buộc chính quy

Ma trận Hessian: Ma trận các đạo hàm riêng bậc hai dùng để nghiên cứu độ cong cục bộ.

Nhân tử Lagrange: Một vô hướng liên hệ giữa gradient của hàm mục tiêu và ràng buộc chính quy tại cực trị có ràng buộc.

Đối với hàm khả vi trên miền mở, cực trị cục bộ trong nội bộ có gradient bằng không. Điều kiện này là cần thiết nhưng chưa đủ. Với hai biến tại điểm tới hạn, đặt D=f_xx f_yy−(f_xy)². Nếu D>0, f_xx>0 cho cực tiểu cục bộ nghiêm ngặt và f_xx<0 cho cực đại cục bộ nghiêm ngặt; D<0 cho yên ngựa. Các xét nghiệm này yêu cầu tính chính quy của đạo hàm bậc hai phù hợp gần điểm đó.

Khi D=0, xét nghiệm đạo hàm bậc hai không kết luận được, chứ không phải bằng chứng của yên ngựa. Các hàm x⁴+y⁴ và x⁴−y⁴ có cùng Hessian bằng zero tại gốc tọa độ, nhưng cái này có cực tiểu nghiêm ngặt và cái kia đổi dấu. Đánh giá dọc theo các hướng tương phản hoặc sử dụng bất đẳng thức trực tiếp. Đối với dạng toàn phương, tính xác định dương mang lại ý nghĩa Hessian tổng quát hơn.

Trên ràng buộc bình thường g(x,y)=c với gradient khác không g, giải hệ gradient f=lambda gradient g cùng với g=c. Những phương trình này sinh ra các ứng viên; chúng không phân loại hay đảm bảo cực trị toàn cục. Nếu gradient của ràng buộc bằng không, điều kiện chính quy bị vi phạm và phương trình nhân tử có thể bỏ sót cực trị có ràng buộc. Xử lý các điểm như vậy riêng biệt. Với x²+y²=a và xy=b>0, (x−y)²=a−2b cho thấy điều kiện cần a≥2b. Nó cũng là điều kiện đủ: lấy s=√(a+2b), d=√(a−2b), x=(s+d)/2 và y=(s−d)/2. Các giá trị thực này có xy=b và x²+y²=a. Điều kiện cực tiểu đơn thuần cần kiểm tra việc đạt được này để khẳng định tính khả thi.

Một hàm liên tục trên tập khả thi compact đạt được cực trị toàn cục. Để tìm chúng, so sánh tất cả các ứng viên nội bộ và tất cả các thành phần biên, bao gồm cả góc và điểm đầu mút. Đối với hình chữ nhật, tối ưu hóa các giới hạn trên mỗi cạnh. Đối với hình tròn, biên tròn có thể dùng tham số hoặc nhân tử. Giải chỉ gradient không ràng buộc sẽ bỏ qua các chiến thắng có thể có ở biên.

Tối thiểu x²+y² với điều kiện x+y=6. Gradient của ràng buộc là (1,1), nên 2x=lambda và 2y=lambda. Do đó x=y và ràng buộc cho x=y=3, với giá trị 18. Hoàn thành bình phương trên đường thẳng cho x²+(6−x)²=2(x−3)²+18, chứng minh một cực tiểu toàn cục. Không có cực đại nào trên đường thẳng không bị giới hạn này, mặc dù có sự tồn tại của một ứng viên nhân tử.

Giải bằng nhân tử Lagrange chỉ là một ứng viên, không tự động là cực đại hoặc cực tiểu. Hãy kiểm tra tính chính quy và toàn bộ tập khả thi.

Phân loại gốc tọa độ cho $f(x,y)=x^2-y^2$ và cho $g(x,y)=x^4+y^4$. Nêu những gì bạn có thể kết luận từ một ma trận Hessian có định thức bằng zero.

Giải mẫu

Đối với f, Hessian là $\operatorname{diag}(2,-2)$ với định thức -4; gốc tọa độ là yên ngựa. Dọc theo các trục, các giá trị có dấu ngược nhau. Đối với g, Hessian tại zero bằng zero, nên xét nghiệm đạo hàm bậc hai không kết luận được. Tuy nhiên $x^4+y^4\ge0$, với dấu bằng chỉ tại gốc tọa độ; đây là cực tiểu toàn cục nghiêm ngặt. Một xét nghiệm không kết luận được không phải là phân loại điểm.

Tìm tất cả các cực trị của $f(x,y)=xy$ dưới điều kiện $x^2+y^2=2$. So sánh với việc tìm giá trị nhỏ nhất của $x^2+y^2$ trên đường thẳng $x+y=4$, bao gồm việc xác định liệu có tồn tại giá trị lớn nhất hay không.

Kiểm tra sau khi đã làm

The circle is compact and its constraint gradient $(2x,2y)$ never vanishes there. Multipliers give $y=2\lambda x$, $x=2\lambda y$. Neither coordinate can be zero at a stationary point; hence $y=\pm x$. The four candidates $(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)$ give global maximum 1 and minimum -1. The bound $2|xy|\le x^2+y^2=2$ checks completeness. On the line, $x^2+(4-x)^2=2(x-2)^2+8$, so the minimum is 8 at $(2,2)$. There is no maximum because the expression is unbounded. Multiplier candidates alone do not establish compactness.