C.5 · Improper integrals and geometric applications

Chuẩn bị GRE đại học. Mục tiêu cục bộ nằm trong phạm vi ETS đã xem xét; đây là giảng dạy nguyên bản, không phải bài thi chính thức hoặc dự đoán điểm số.

Kiến thức nền tảng: Nguyên hàm, giới hạn, so sánh và tích phân hình học.

• Định nghĩa tích phân không xác định qua giới hạn tại mỗi biên dị thường
• Chọn công thức diện tích, thể tích và chiều dài cung từ hình học
• Tách biệt sự hội tụ của tích phân khỏi sự triệt tiêu có dấu

tích phân không xác định: Một tích phân được định nghĩa thông qua giới hạn tại các biên vô cực hoặc dị thường.

giá trị chính: Một giới hạn sử dụng sự triệt tiêu đối xứng quy định, có thể tồn tại ngay cả khi tích phân không xác định thông thường phân kỳ.

Một biên tích phân vô cùng được thay thế bằng một cận hữu hạn và một giới hạn. Tại một điểm dị thường nằm trong khoảng, tách tích phân ra và yêu cầu cả hai tích phân một phía đều hội tụ riêng biệt. Sự triệt tiêu đối xứng có thể định nghĩa giá trị chính Cauchy nhưng không chứng minh được sự hội tụ của tích phân không xác định thông thường. Đối với 1/x đi qua 0, hai phía đều phân kỳ mặc dù các phép cắt đối xứng triệt tiêu lẫn nhau.

Tích phân của x^(−p) từ 1 đến vô cùng hội tụ khi và chỉ khi p>1. Từ 0 đến 1, nó hội tụ khi và chỉ khi p<1. Cùng một số mũ có hành vi khác nhau tại hai biên. Đối với các hàm nguyên dương, phương pháp so sánh chuyển giao sự hội tụ từ một hàm nguyên lớn hơn hoặc sự phân kỳ từ một hàm nguyên nhỏ hơn; hãy giữ đúng hướng bất đẳng thức. Đối với tích phân của hàm max hoặc min, giải các điểm cắt nhánh và kiểm tra biểu thức nào thống trị trên từng khoảng. Với max(√(1−x²),x+1) trên [−1,1], điểm cắt nội bộ là 0; sử dụng nửa đường tròn trên [−1,0] và đường thẳng trên [0,1]. Diện tích là π/4+3/2, không phải là tích phân của bất kỳ nhánh nào trên toàn bộ khoảng.

Đối với quay quanh trục hoành, đĩa hoặc vòng tròn tích phân π(R²−r²) dx. Vỏ trụ sử dụng 2π lần bán kính nhân chiều cao và tích phân theo biến phù hợp. Chọn phương pháp dựa trên hình học và kiểm tra bán kính không âm. Diện tích giữa hai đường cong tích phân (trên trừ dưới), tách ra nơi thứ tự của chúng thay đổi. Một tích phân có dấu không tự động là diện tích hình học.

Đối với đường cong phẳng khả vi y=f(x), chiều dài cung là tích phân của sqrt(1+(f′(x))²) dx. Một bề mặt tạo thành bằng cách quay f không âm quanh trục x có diện tích tích phân 2πf sqrt(1+(f′)²) dx. Đây là các đại lượng khác nhau so với thể tích. Nếu khoảng không bị giới hạn, công thức hình học vẫn cần xét nghiệm hội tụ.

Quay y=1/x cho x≥1 quanh trục x. Thể tích đĩa là π lần tích phân của 1/x², nên V=π. Biểu thức tích phân của diện tích xung quanh là 2π(1/x)sqrt(1+1/x⁴), ít nhất là 2π/x; tích phân improper của nó phân kỳ. Do đó, thể tích hữu hạn không ngụ ý diện tích bề mặt hữu hạn. So sánh này tránh việc cố gắng tìm nguyên hàm không cần thiết.

Không bao giờ đếm giá trị chính là một tích phân bất thường hội tụ, hay suy ra tính hữu hạn của một đại lượng hình học từ đại lượng khác.

Với giá trị thực p nào thì $\int_0^\infty x^{-p}\,dx$ hội tụ? So sánh tích phân suy biến thông thường của $1/x$ trên $[-1,1]$ với giá trị chính đối xứng của nó.

Giải mẫu

Chia tại 1. Gần điểm không, sự hội tụ yêu cầu $p<1$; gần vô cùng, nó yêu cầu $p>1$. Không có số thực p nào thỏa mãn cả hai điều kiện, và p=1 phân kỳ theo logarit ở cả hai đầu. Cả hai phần một phía đều phải hội tụ độc lập. Đối với $1/x$ qua điểm không, phần âm và phần dương phân kỳ riêng biệt, do đó tích phân suy biến thông thường phân kỳ. Các cận đối xứng triệt tiêu nhau về zero, chỉ cho ra giá trị chính. Zero không phải là giá trị của tích phân thông thường.

Xoay vùng dưới $y=1/x$, $x\ge1$ quanh trục x. Chứng minh thể tích hữu hạn và diện tích mặt bên vô hạn.

Kiểm tra sau khi đã làm

Các đĩa tạo ra $V=\pi\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\pi\lim(1-1/b)=\pi$. Đối với diện tích mặt, $y'=-1/x^2$ và

Hàm nguyên hàm phi âm của nó lớn hơn hoặc bằng $2\pi/x$, mà tích phân của nó phân kỳ. So sánh chứng minh diện tích mặt bên vô hạn. Điều này bao gồm cả nắp cuối hay tuyên bố rằng thể tích hữu hạn kéo theo diện tích hữu hạn.