C.4 · Taylor expansions and power-series endpoints

Chuẩn bị GRE đại học. Mục tiêu cục bộ nằm trong phạm vi ETS đã xem xét; đây là giảng dạy nguyên bản, không phải bài thi chính thức hoặc dự đoán điểm số.

Tiên quyết: Đạo hàm, chuỗi hình học và các xét hội tụ.

• Xây dựng đa thức Taylor và kiểm soát sai số xấp xỉ
• Xác định bán kính hội tụ và xét các đầu mút riêng biệt
• Vi phân và tích phân chuỗi lũy thừa trong khoảng hội tụ của chúng

bán kính hội tụ: Khoảng cách từ tâm chuỗi bên trong đó chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối.

hệ số dư: Hiệu giữa hàm số và xấp xỉ hữu hạn của nó.

Đa thức Taylor bậc m tại a là tổng của f^(k)(a)(x−a)^k/k! với k chạy từ 0 đến m. Factorial thuộc về mỗi hệ số. Nếu đạo hàm tiếp theo bị chặn theo độ lớn bởi M giữa a và x, thì phần dư Lagrange có độ lớn tối đa là M|x−a|^(m+1)/(m+1)!. Sự trơn tru đơn thuần không đảm bảo rằng chuỗi Taylor vô hạn bằng hàm số ở mọi nơi.

Chuỗi lũy phân sum c_n(x−a)^n hội tụ tuyệt đối bên trong bán kính R và phân kỳ ngoài nó. Tiêu chuẩn tỷ số hoặc căn thức thường dùng để xác định R, với các giá trị có thể là 0 và vô cùng. Tại x=a−R và x=a+R, tiêu chuẩn thường không kết luận được; thay từng điểm biên vào chuỗi gốc. Hai hành vi tại điểm biên có thể khác nhau.

Trong khoảng hội tụ mở, việc lấy đạo hàm và tích phân từng số hạng bảo toàn bán kính. Tuy nhiên, chúng có thể làm thay đổi việc liệu các điểm biên có được bao gồm hay không. Bắt đầu từ chuỗi hình học 1/(1−x)=sum x^n với |x|<1, sau đó tích phân từ 0 đến x để thu được −ln(1−x)=sum x^n/n với n≥1. Kiểm tra hằng số tích phân và miền xác định của logarit thực.

Chuỗi cũng giải quyết các dạng giới hạn có thể khử. Để tính (e^x−1−x)/x² gần 0, giữ lại số hạng còn lại đầu tiên x²/2 thay vì chỉ dùng xấp xỉ e^x≈1+x. Việc cắt ngắn tiệm cận thiết lập giới hạn; một bất đẳng thức trên khoảng hữu hạn cần thêm lập luận riêng về dấu hoặc độ lớn phần dư. Đừng thay thế vào chuỗi ngoài khoảng hội tụ của nó.

Đối với tổng x^n/n với n≥1, xét tỷ số cho bán kính 1. Tại x=1 đây là chuỗi điều hòa phân kỳ; tại x=−1 đây là chuỗi xen kẽ hội tụ. Do đó khoảng hội tụ thực của nó là [−1,1). Vi phân bên trong thu được tổng x^(n−1)=1/(1−x), không hội tụ tại bất kỳ đầu mút nào. Bán kính vẫn giữ nguyên 1 trong khi việc bao gồm đầu mút đã thay đổi.

Một bán kính không phải là một khoảng hội tụ hoàn chỉnh. Các xét nghiệm đầu mút và hệ số nhân phân phải được kiểm tra rõ ràng.

Tìm khoảng hội tụ của $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$ và của đạo hàm từng số hạng của nó. xấp xỉ $e^{0.1}$ bằng đa thức Taylor bậc hai kèm theo ước lượng sai số hợp lý.

Giải mẫu

Tiêu chuẩn tỷ số cho bán kính bằng 1. Tại 1, chuỗi điều hòa gốc phân kỳ; tại -1, chuỗi xen kẽ hội tụ. Do đó, khoảng ban đầu là $[-1,1)$. Đạo hàm là $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=1/(1-x)$ chỉ khi $|x|<1$; các số hạng của nó không tiến tới 0 ở cả hai điểm biên. $P_2(0.1)=1+0.1+0.1^2/2=1.105$. Trên $[0,0.1]$, đạo hàm cấp ba là $e^x<2$. Giới hạn Lagrange cho $|R_2|\le2(0.1)^3/6=1/3000$. Giới hạn này cố ý conservatively (thận trọng/lớn hơn thực tế), không phải là tuyên bố về sai số chính xác.

Tính $\lim_{x\to0}(\cos x-1+x^2/2)/x^4$. Giải thích tại sao việc thay cosin chỉ bằng $1-x^2/2$ không thể xác định giới hạn này.

Kiểm tra sau khi đã làm

Định lý Taylor gần 0 cho $\cos x=1-x^2/2+x^4/24+O(x^6)$. Phép trừ triệt tiêu các số hạng hằng số và bậc hai, chỉ lại $x^4/24+O(x^6)$. Sau phép chia, giới hạn là $1/24$. Một phép cắt ngắn với phần dư chỉ $o(x^2)$ sẽ không kiểm soát được sau khi chia cho $x^4$; hãy giữ lại và bound order còn lại đầu tiên.