T.5 · Open sets, compactness and connectedness

Chuẩn bị GRE đại học. Mục tiêu cục bộ nằm trong phạm vi ETS đã xem xét; đây là giảng dạy nguyên bản, không phải bài thi chính thức hoặc dự đoán điểm số.

Kiến thức cần thiết: Tập hợp, tập mở tương đối, hàm số liên tục và dãy số.

• Tính bao đóng, phần trong và biên trong một không gian cho trước
• Áp dụng tính compact và tính liên thông vào các ánh xạ liên tục
• Phân biệt topo tương đối với topo Euclidean bao hàm

topo tương đối: Các tập mở là giao của tập con với các tập mở trong không gian bao hàm.

tính liên thông: Không tồn tại sự phân tách thành hai tập con mở tương đối rỗng rời nhau khác rỗng.

Trong không gian metric, một tập mở chứa một quả cầu nhỏ quanh mỗi điểm của nó. Phần trong gồm các điểm như vậy; bao đóng bao gồm tất cả các điểm giới hạn; biên là hiệu của bao đóng và phần trong. Một tập có thể vừa mở vừa đóng; tập rỗng và toàn bộ không gian đều thỏa mãn. Trong R, tập [0,1) có phần trong (0,1), bao đóng [0,1] và biên {0,1}.

Trong tập con X, một tập mở có dạng giao của X với một tập mở bao hàm. Do đó [0,1) là mở tương đối so với [0,2], dùng phép giao với (-1,1), mặc dù nó không mở trong R. Một tập cũng có thể đóng tương đối mà không đóng trong không gian bao hàm. Luôn chỉ rõ không gian nào xác định lân cận và metric nào được sử dụng.

Tính compact nghĩa là mọi phủ mở đều có phủ con hữu hạn. Trong Euclidean R^n, Heine–Borel làm cho điều này tương đương với đóng và bị chặn. Trong không gian metric, tính compact tương đương với tính compact theo dãy; tính hoàn chỉnh và bị chặn đơn thuần không đủ trong các không gian metric tùy ý. Ảnh liên tục của một tập compact là compact, đảm bảo cực đại và cực tiểu đạt được cho các hàm thực liên tục trên miền compact khác rỗng.

Các tập liên thông không thể phân tách thành hai phần mở tương đối rỗng rời nhau khác rỗng; các tập con liên thông của R chính là các khoảng. Ảnh liên tục của một tập liên thông là liên thông, dẫn đến định lý giá trị trung gian. Liên thông theo đường kéo theo tính liên thông, nhưng không phải ngược lại trong mọi không gian. Một tập compact chưa chắc liên thông, và một tập liên thông chưa chắc compact; một tập hai điểm hữu hạn và một khoảng mở cung cấp các ví dụ đối lập.

Giả sử X=[0,1] với topologie tương đối thông thường. Tập U=[0,0.5) bằng X giao với (-1,0.5), nên U là mở trong X. Bao closure của nó trong X là [0,0.5], và boundary của nó trong X là {0.5}; zero là điểm interior tương đối với X. Đối với một hàm liên tục f trên X với f(0)<0<f(1), tính liên thông đảm bảo tồn tại nghiệm, trong khi tính compact độc lập đảm bảo các cực trị đạt được.

Tiêu chuẩn đóng-bị-bounded của Heine–Borel là một định lý trong không gian Euclidean. Tính liên thông và compactness trả lời những câu hỏi khác nhau.

Trong ⟨$X=[0,2]$⟩ với topo tương đối của nó, tìm phần trong, bao đóng và biên của ⟨$A=[0,1)$⟩. Tập A có mở hay đóng trong X?

Giải mẫu

$A=X\cap(-1,1)$ mở trong X, nên phần trong tương đối của nó là A. Bao đóng của nó là $[0,1]$ và biên là $\{1\}$. Zero là điểm trong tương đối so với X vì một quả cầu đủ nhỏ trong X không có phần âm. A không đóng trong X: dãy ⟨$1-1/n$⟩ với ⟨$n\ge2$⟩ tiến tới điểm thiếu hụt ⟨1⟩. Trong đường thẳng thực bao hàm, phần trong và biên sẽ lần lượt là $(0,1)$ và $\{0,1\}$.

Cho một tập thực compact không liên thông và một tập thực liên thông không compact. Hàm thực liên tục trên tập sau có đạt giá trị cực trị không? Giải thích tính chất nào mang lại định lý giá trị trung gian.

Kiểm tra sau khi đã làm

Tập hữu hạn $\{0,2\}$ là compact nhưng không liên thông. Khoảng $(0,1)$ là liên thông nhưng không compact. Hàm đồng nhất liên tục trên ⟨$(0,1)$⟩ không đạt cả cực đại lẫn cực tiểu. Tính liên thông khiến ảnh thực liên tục là một khoảng và do đó cung cấp các giá trị trung gian. Tính compact khiến ảnh thực liên tục khác rỗng đạt được các giá trị cực trị. Neither property substitutes for the other.