T.4 · Sequences, series and uniform convergence

Chuẩn bị GRE đại học. Mục tiêu cục bộ nằm trong phạm vi ETS đã xem xét; đây là giảng dạy nguyên bản, không phải bài thi chính thức hoặc dự đoán điểm số.

Kiến thức cần thiết: Giới hạn dãy số,Requests supremum, tính liên tục và chuỗi số.

• Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy, hội tụ đơn điệu và hội tụ của dãy con
• Phân biệt hội tụ điểm và hội tụ đều của hàm số
• Kiểm tra giả thiết trước khi hoán đổi giới hạn và tích phân

Dãy Cauchy: Là dãy số mà các số hạng ở cuối đủ xa có thể gần nhau tùy ý.

Hội tụ đều: Hội tụ với một chỉ số ngưỡng sai số duy nhất hợp lệ tại mọi điểm của tập xác định.

Một dãy số thực hội tụ là dãy Cauchy, và mọi dãy Cauchy thực đều hội tụ vì R hoàn chỉnh. Trong Q, một dãy Cauchy có thể tiến gần đến một số vô tỷ và thất bại trong việc hội tụ trong Q. Một dãy thực đơn điệu bị chặn thì hội tụ. Một dãy bị chặn chưa chắc hội tụ, nhưng Bolzano–Weierstrass đảm bảo tồn tại một dãy con hội tụ; (-1)^n có hai giới hạn dãy con khác nhau.

Đối với một chuỗi số, sự hội tụ tuyệt đối suy ra hội tụ; sự hội tụ điều kiện không cho phép sắp xếp tùy ý mà không ảnh hưởng đến tổng. Chuỗi điều hòa xen kẽ hội tụ nhưng chuỗi giá trị tuyệt đối của nó phân kỳ. Trong test tỷ số, một giới hạn dưới 1 chứng minh sự hội tụ tuyệt đối và một giới hạn trên 1 chứng minh sự phân kỳ; một giới hạn bằng 1 là không kết luận được, như cả chuỗi 1/n và chuỗi 1/n² đều minh họa.

Hội tụ điểm chọn một chỉ số N riêng biệt cho mỗi x và độ chính xác. Hội tụ đều chọn một N duy nhất hoạt động cho mọi x trong tập xác định. Đối với hàm số có giá trị thực, kiểm traRequests supremum của |f_n−f| trên toàn bộ tập xác định. Một giới hạn hội tụ điểm liên tục không tự thân chứng minh hội tụ đều. Các đầu mút của tập xác định và các đỉnh thu hẹp thường phân biệt hai khái niệm này.

Giới hạn đều của các hàm liên tục là liên tục. Trên một đoạn đóng và bị chặn, hội tụ đều của các hàm Riemann-integrable cho phép hoán đổi giới hạn và tích phân. Hoán đổi đạo hàm cần thêm giả thiết; hội tụ đều của các hàm số riêng lẻ là không đủ. Tiêu chuẩn M-Weierstrass thiết lập hội tụ tuyệt đối đều của một chuỗi hàm nếu mỗi số hạng bị chặn bởi M_n trên toàn bộ tập xác định và sum M_n hội tụ.

Trên [0,1], f_n(x)=x^n tiến tới 0 khi x<1 và tiến tới 1 tại x=1. Giới hạn discontinuous, nên sự hội tụ không thể đều; trực tiếp, sai số supremum là 1, đạt được từ dưới 1. Trên [0,a] với 0≤a<1, giới hạn là không và supremum là a^n, tiến tới không, nên sự hội tụ là đều. Thay đổi miền xác định sẽ thay đổi kết luận.

Kiểm tra nhiều giá trị x cố định không chứng minh được bất kỳ ước lượng supremum hay hội tụ đều nào. Giá trị tạo ra sai số lớn nhất có thể di chuyển theo n.

Xác định hội tụ điểm và hội tụ đều của $f_n(x)=x^n$ trên $[0,1]$ và trên $[0,a]$ với tham số cố định $0<a<1$. So sánh $\sum1/n^2$ với chuỗi điều hòa xen dấu về mặt hội tụ tuyệt đối.

Giải mẫu

Trên $[0,1]$, giới hạn bằng không đối với $x<1$ và bằng một tại 1. Giới hạn này không liên tục, nên các hàm liên tục $f_n$ không thể hội tụ đều. Trực tiếp hơn, sai sốRequests supremum trên $[0,1)$ là một. Trên $[0,a]$,Requests supremum là $a^n\to0$, nên hội tụ đều về không. Chuỗi p với p=2 hội tụ tuyệt đối. Chuỗi điều hòa xen dấu hội tụ theo các số hạng giảm dần tiến tới không, nhưng chuỗi giá trị tuyệt đối phân kỳ; sự hội tụ của nó mang tính điều kiện.

Cho $g_n(x)=\sin(nx)/n$ trên $\mathbb R$. Sự hội tụ có đều không? Đạo hàm của nó có thể hội tụ về đạo hàm của giới hạn không? Sử dụng một điểm cụ thể để quyết định.

Kiểm tra sau khi đã làm

$\sup_{x\in\mathbb R}|g_n(x)|=1/n\to0$, nên các hàm hội tụ đều về không. Nhưng $g_n'(x)=\cos(nx)$, và tại $x=0$ các đạo hàm này đều bằng 1. Đạo hàm của giới hạn không là 0. Do đó, hội tụ đều của các hàm số riêng lẻ không đủ cơ sở để vi phân một giới hạn; cần thêm các giả thuyết về sự hội tụ của đạo hàm.