A.5 · Polynomials and field extensions — GRE Mathematics Ghi chú ôn tập

11

Phạm vi và yêu cầu tiên quyết

Chuẩn bị GRE đại học. Mục tiêu cục bộ nằm trong phạm vi ETS đã xem xét; đây là giảng dạy nguyên bản, không phải bài thi chính thức hoặc dự đoán điểm số.

Tiền đề: Chia đa thức, trường và chiều không gian vector.

Kiểm tra tính bất khả quy của đa thức trên trường đã cho
Xây dựng các trường hữu hạn nhỏ từ các đa thức bất khả quy
Sử dụng bậc mở rộng và định lý tháp
Sử dụng nghiệm cyclotomic và các mối liên hệ hệ số để tính tổng và tích

irreducible polynomial: Một đa thức có bậc dương không có sự phân tích thành các đa thức có bậc dương nhỏ hơn trên trường đã cho.

extension degree: Dimension của một trường mở rộng như một không gian vector trên trường nền.

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
irreducible polynomial/ɪrɪˈdjuːsɪbl ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	đa thức bất khả quy
extension degree/ekˈstenʃn dɪˈɡriː/	bậc mở rộng

11

Chọn và biện minh cho một phương pháp

Một đa thức là bất khả quy trên một trường nếu nó có bậc dương và không phân tích được thành tích của các đa thức có bậc dương nhỏ hơn trên đó. Một đa thức bậc hai hoặc bậc ba là bất khả quy chính xác khi nó không có nghiệm trong trường đó. Test nghiệm này riêng lẻ sẽ thất bại đối với bậc bốn trở lên; ví dụ (x²+1)(x²+2) không có nghiệm thực nhưng khả quy trên R. Luôn nêu rõ tên trường nền tảng.

Mô-đun thương F[x]/(p) là một trường khi p bất khả quy. Rút gọn lũy thừa bằng p(alpha)=0, trong đó alpha là lớp dư của x. Nếu F có q phần tử và p có bậc d, mô-đun thương có q^d phần tử biểu diễn bởi các đa thức có bậc nhỏ hơn d. Z/4Z có bốn phần tử nhưng có ước không, nên nó không phải là trường có bốn phần tử.

Trên F2, p(x)=x²+x+1 có giá trị 1 tại cả hai điểm 0 và 1 và là bất khả quy. Trong trường thương alpha²=alpha+1 vì phép trừ bằng phép cộng trong đặc trưng hai. Bốn phần tử là 0,1, alpha, alpha+1. Cả ba phần tử khác không đều phải là đơn vị; hãy tính tích của chúng thay vì coi alpha như một số thực thông thường.

Đối với các trường hữu hạn bậc lồng nhau K ⊂ L ⊂ M, định lý tháp cho [M:K]=[M:L][L:K]. Bậc của một phần tử đại số là bậc của đa thức tối tiểu của nó. Một mở rộng hữu hạn bậc hai không chứa phần tử bậc ba trên trường cơ sở. Trên Q, sqrt(2) có bậc hai; thêm sqrt(3) vào cũng tạo ra mở rộng bậc bốn, vì sqrt(3) không thuộc Q(sqrt(2)). Trên C, căn nguyên thủy bậc n có đúng bậc n và là nghiệm của đa thức cyclotomic Φ_n. Với n=10, chia x⁵+1 cho x+1 để loại bỏ nghiệm bậc hai −1: Φ_10=x⁴−x³+x²−x+1. Công thức Vieta cho tổng 1 và tích 1 của bốn căn nguyên thủy của nó. Đừng cộng tất cả mười căn bậc mười, hoặc giả sử mọi căn bậc mười phi tầm thường đều là nguyên thủy; bậc của một căn phải được kiểm tra. Đối với đa thức đơn phương bậc d, tích các nghiệm là (−1)^d nhân hệ số tự do.

11

Ví dụ giải thích chi tiết

Trong F2[alpha] với alpha²+alpha+1=0, nhân alpha(alpha+1) = alpha² + alpha = (alpha+1) + alpha = 1. Vậy alpha^−1=alpha+1. Ngoài ra alpha³=1 và alpha không phải là ⟨1⟩, nên bậc nhân của nó là 3. Điều này tạo ra một trường có bốn phần tử. Ngược lại, 2·2=0 trong Z/4Z, chứng minh rằng thương là không phải là trường.

Multiplication table of F₂(α) with α² = α + 1, showing every nonzero product — Every nonzero element of F₂[α] has an inverse, so it is a field with four elements

11

Điều kiện và phản ví dụ

Tính khả quy của đa thức thay đổi tùy theo trường hệ số. Đa thức x²−2 bất khả quy trên Q nhưng phân tách trên R.

11

Ứng dụng hướng dẫn

Xây dựng $\mathbb F_2[x]/(x^2+x+1)$. Liệt kê các phần tử của nó và tìm nghịch đảo của phần dư $\alpha=[x]$.

Giải mẫu

Đa thức bậc hai nhận giá trị một tại cả hai phần tử của $\mathbb F_2$, nên nó không có nghiệm và là bất khả quy. Trường thương của nó là một trường. Phép chia để lại một đại diện có bậc nhỏ hơn hai: $0,1,\alpha,1+\alpha$. Quan hệ là $\alpha^2=\alpha+1$ trong đặc trưng hai. Do đó $\alpha(\alpha+1)=\alpha^2+\alpha=1$, vậy $\alpha^{-1}=\alpha+1$. Điều này không phải là $\mathbb Z/4\mathbb Z$, vốn có ước không bằng không.

11

Chuyển giao độc lập

Liệu ⟨$x^4+4$⟩ có bất khả quy trên ⟨$\mathbb Q$⟩ không? Việc thiếu nghiệm hữu tỉ có trả lời câu hỏi này không? Một mở rộng bậc hai của ⟨$\mathbb Q$⟩ có thể chứa nghiệm của một đa thức bất khả quy bậc ba trên ⟨$\mathbb Q$⟩?

Kiểm tra sau khi đã làm

Phép nhân trực tiếp cho thấy $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$, vì vậy nó có thể phân tích được trên $\mathbb Q$ mặc dù không có nghiệm thực, nên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Kiểm tra không nghiệm chỉ đặc trưng hóa tính bất khả quy đối với đa thức bậc hai hoặc ba trên một trường. Nếu một nghiệm bậc ba bất khả quy $\beta$ thuộc về mở rộng bậc hai L, thì $\mathbb Q\subset\mathbb Q(\beta)\subset L$ và định lý tháp sẽ khiến 3 chia hết cho 2. Điều này là không thể. Kết luận dựa vào tính bất khả quy, không chỉ đơn thuần là một phương trình bậc ba.