C.1 · Single-variable calculus and applications

Chuẩn bị GRE đại học. Mục tiêu cục bộ nằm trong phạm vi ETS đã xem xét; đây là giảng dạy nguyên bản, không phải bài thi chính thức hoặc dự đoán điểm số.

Tiền đề: Đại số chính xác, lượng giác trong radian, hàm số và bất phương trình.

• Sử dụng giới hạn, tính liên tục và khả vi
• Áp dụng đạo hàm, tích phân và định lý cơ bản
• Nhận diện tổng Riemann và phân biệt chúng với chuỗi vô hạn

tính liên tục: Sự khớp nhau giữa giá trị của hàm số và giới hạn của nó.

hội tụ: Tiệm cận đến một giá trị giới hạn hữu hạn.

Giới hạn mô tả các giá trị gần một điểm, mà không yêu cầu hàm số được xác định tại đó. Tính liên tục bổ sung yêu cầu rằng giá trị hàm số tồn tại và bằng với giới hạn. Phép triệt tiêu đại số chỉ hợp lệ xa khỏi điểm triệt tiêu đã triệt tiêu, nhưng có thể tiết lộ một giới hạn có thể loại bỏ được. Các giới hạn một phía phải bằng nhau để có giới hạn hai phía. Đối với giới hạn của thương, hãy kiểm tra mẫu số và các giả thiết trước khi áp dụng quy tắc; 0/0 là dạng vô định, không phải là kết quả.

Đạo hàm là giới hạn của các thương sai phân và ngụ ý tính liên tục; điều ngược lại không đúng, như |x| tại 0 cho thấy. Quy tắc tích, thương và chuỗi mô tả các cấu trúc khác nhau: đạo hàm của f(g(x)) là f′(g(x))g′(x), không phải là tích của các giá trị không liên quan. Đạo hàm cấp hai của một hàm hợp thường tạo ra hai số hạng. Kiểm tra miền xác định, mẫu số khác không và các giả thiết về khả vi trước khi sử dụng biểu thức ký hiệu như một đạo hàm.

Định lý cơ bản nói rằng đạo hàm của ∫ từ a đến x của hàm tích phân f(t) liên tục là f(x). Với cận trên biến đổi h(x), nhân với h′(x); với hai cận biến đổi, trừ đi đóng góp tương ứng của cận dưới. Tích xác định cũng xuất hiện như là giới hạn của tổng Riemann. Viết lại tổng thành (1/n)Σf(k/n) trước khi xác định tích phân trên [0,1], thay vì coi các số hạng phụ thuộc n như hằng số.

Ví dụ, Σ từ k=1 đến n của n/(n²+k²) bằng (1/n)Σ1/(1+(k/n)²), tiến tới ∫₀¹1/(1+t²)dt=π/4. Giới hạn này sử dụng tính liên tục và độ rộng phân hoạch 1/n. Một chuỗi với số lượng số hạng không hữu hạn là một giới hạn khác: các số hạng tiến tới không không đảm bảo hội tụ. Đối với Σ1/k, các tổng riêng phân kỳ; hãy so sánh, ước lượng hoặc áp dụng một kiểm tra chuỗi hợp lệ thay vì sử dụng điều kiện cần của số hạng như điều kiện đủ.

Đối với F(x)=tích phân từ 0 đến x² của e^t dt, định lý cơ bản và quy tắc chuỗi cho F′(x)=e^(x²)·2x. Tại x=1, F′(1)=2e. Giới hạn trên là x², vì vậy nếu bỏ qua ⟨2x sẽ bỏ sót tốc độ thay đổi của nó.

Giải tích A-level là kiến thức nền tảng hữu ích nhưng không bao quát hết phần phân tích và ứng dụng đại học được kiểm tra ở đây.

Cho $F(x)=\int_x^{x^2}(1+t^2)\,dt$. Tìm $F'(x)$ và $F'(2)$. Nêu lý do tại sao định lý áp dụng.

Giải mẫu

Hàm nguyên liên tục trên trục số thực. Định lý cơ bản và quy tắc chuỗi áp dụng ở cả hai cận:

Độc lập, một nguyên hàm là $t+t^3/3$. Do đó $F=x^2+x^6/3-x-x^3/3$, với cùng một đạo hàm.

Tìm $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n k/(n^2+k^2)$. Giải thích tại sao đây là giới hạn của tổng Riemann. Sau đó quyết định xem $\sum_{k=1}^{\infty}1/k$ có hội tụ hay không.

Kiểm tra sau khi đã làm

Viết lại mỗi số hạng thành $\frac1n\frac{k/n}{1+(k/n)^2}$. Hàm liên tục $f(t)=t/(1+t^2)$ trên $[0,1]$ và lưới $1/n$ tạo ra

Chuỗi điều hòa phân kỳ: khối từ $2^{j-1}+1$ đến $2^j$ chứa ít nhất $2^{j-1}$ số hạng lớn hơn hoặc bằng $1/2^j$, vì vậy mỗi khối thêm vào ít nhất $1/2$. Số hạng tiến tới không là điều kiện cần nhưng không đủ. Hàm nguyên của tổng hữu hạn ở đây phụ thuộc vào chỉ số đã chuẩn hóa; nó không phải là chuỗi điều hòa.