Q.A-number · Arithmetic: divisibility, remainders and multiplicative change

Thực hành lớp học gốc trong các dạng bài kiểm tra ngắn được xem xét. Điều này không mô phỏng bài kiểm tra thích ứng hay dự đoán điểm chuẩn hóa hoặc điểm viết. Các mẫu chính thức công khai trước đây vẫn là thực hành công khai; phiên bản và nguồn gốc văn bản của chúng vẫn được áp dụng.

• Sử dụng phân tích thừa số nguyên tố để chia hết, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất
• Giải thích dư với ước chia gốc
• Kết hợp tỷ lệ và thay đổi phần trăm với tổng tham chiếu đúng

bội chung nhỏ nhất: Số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho mỗi số nguyên dương đã cho.

dư: Lượng không âm còn lại sau khi chia cho một số nguyên dương, nhỏ hơn ước chia đó.

Một số nguyên chia hết cho d có thể viết dưới dạng dk; một dư r tạo ra dk+r với 0≤r<d khi d là ước dương. Phân tích thừa số nguyên tố giúp xác định tính chia hết và bội chung. Ước chung lớn nhất lấy các lũy thừa nguyên tố chung với số mũ nhỏ hơn; bội chung nhỏ nhất lấy mọi lũy thừa nguyên tố cần thiết với số mũ lớn hơn.

Giữ riêng biệt các tính chất lẻ/chẵn và dương/âm. Tích của hai số nguyên lẻ là số lẻ; tích với một số nguyên chẵn là số chẵn. Một phát biểu về số nguyên không nhất thiết đúng với số thực. Để so sánh định lượng, hãy khai thác dạng dư để làm rõ các trường hợp có thể xảy ra thay vì giả sử ví dụ dương nhỏ nhất là giá trị duy nhất.

Tỷ lệ a:b phân bổ một tổng thành a+b phần bằng nhau khi các nhóm bao phủ hết tổng đó. Thay đổi phần trăm nhân giá trị ban đầu với 1+r hoặc 1−r, trong đó r được biểu diễn dưới dạng thập phân. Các thay đổi liên tiếp nhân các thừa số. Phép tính một phần của một phần thay đổi nhóm tham chiếu ở mỗi bước; hãy ghi chú mẫu số trước khi nhân.

Ước lượng độ lớn và kiểm tra các ràng buộc số nguyên sau khi giải. Phân số, căn thức và lũy thừa âm tuân theo các ràng buộc miền xác định thông thường; căn bậc chẵn đại diện cho giá trị chính phi âm. Không rút gọn một hạng tử trong tổng như thể nó là thừa số. Tính toán chính xác có thể nhanh hơn và an toàn hơn so với nhập liệu trên máy tính cầm tay thập phân.

Đã biết: $18=2\cdot3^2$ và $24=2^3\cdot3$. Lũy thừa nhỏ hơn chung cho Ước chung lớn nhất là sáu; lũy thừa lớn hơn cần thiết cho Bội chung nhỏ nhất là bảy mươi hai. Nếu $n=5k+2$, thì $2n=5(2k)+4$, nên dư khi chia cho năm là bốn.

Đối với giá trị mô hình là 100 CNY giảm rồi tăng thêm 20%, hãy nhân hai mức thay đổi này:

Chia 250 theo tỷ lệ 2:3 thu được 100 và 150: mỗi phần năm phần là năm mươi.

Sự tăng và giảm phần trăm bằng nhau sử dụng các cơ sở khác nhau. Phần dư phải được báo cáo tương đối với ước divisor được nêu tên.

Tìm Ước chung lớn nhất và Bội chung nhỏ nhất của 36 và 60. Giá tăng 25% rồi giảm 20%. Tìm thay đổi phần trăm tổng thể của giá.

Mô hình và lập luận

$36=2^2\cdot3^2$, $60=2^2\cdot3\cdot5$. Các lũy thừa chung nhỏ hơn cho ƯCLN=12; các lũy thừa cần thiết lớn hơn cho BCNN=180. Tích của chúng $12\cdot180=36\cdot60$ kiểm chứng kết quả. Nhân tử giá là $1.25\cdot0.80=1$, do đó thay đổi tổng thể là 0%. Hai thay đổi này sử dụng các giá trị tham chiếu khác nhau; cộng +25 và trừ -20 sẽ dẫn đến sai lầm khi cho rằng tăng 5%.

Số nguyên n có dư 5 khi chia cho 8. Tìm dư của $3n+7$ khi chia cho 8, bao gồm cả trường hợp n âm. Giá tăng 10% trong một năm và 20% vào năm sau. Mức giảm phần trăm đơn nào đó sẽ khôi phục lại giá trị ban đầu?

Kiểm tra sau khi đã làm

Viết $n=8k+5$ cho số nguyên k. Khi đó $3n+7=24k+22=8(3k+2)+6$, nên dư là sáu với mọi số nguyên k. Giá trị cuối cùng gấp 1.32 lần giá trị ban đầu. Khôi phục lại nó nhân với $1/1.32=25/33$, tương đương mức giảm $1-25/33=8/33$, hay khoảng 24.24%. Mức giảm 30% không đảo ngược được sự tăng trưởng lũy thừa. Quy ước về dư vẫn sử dụng $0\le r<8$ ngay cả khi n âm.