4 · Geometry and trigonometry

4MA1 topic 4 (specification Issue 2, November 2017) is the largest topic: Foundation rows 4.1–4.11 bao gồm kiến thức về góc, đa giác, đo lường, xây dựng, ngôn ngữ đường tròn, Pythagoras và 2D lượng giác, diện tích thể tích và đồng dạng; Higher bổ sung thêm tính chất giao dây cung, bộ lập luận đầy đủ về định lý đường tròn, góc tù và lượng giác tam giác không vuông, bài toán 3D, hình quạt, hình nón, hình cầu và $k^2/k^3$ tỷ lệ đồng dạng. Trong đề thi Higher tháng Sáu 2024, Strand này cung cấp các chuỗi AO3 nhiều bước: suy luận định lý đường tròn, diện tích lục giác ghép, góc quy tắc cosin 3D và phương trình khối tương tự $k^3$.

Công thức bắt buộc cho chủ đề 4 (Tờ công thức Higher có quy tắc sin/cosin, ½ab sin C, và công thức thể tích, diện tích bề mặt hình nón/hình cầu):

Góc phân loại thành góc nhọn ($< 90°$), vuông, tù ($90°$–$180°$) và góc reflex ($> 180°$). Tổng góc trên một đường thẳng là 180°, quanh một điểm là 360°, hai góc đối đỉnh bằng nhau, và đường thẳng song song tạo ra góc đồng vị bằng nhau và góc so le trong (tổng góc cùng phía là 180°). Góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề nó, và tổng ba góc là 180°; tam giác cân có hai cạnh bằng nhau và hai góc đáy bằng nhau, tam giác đều có ba cạnh bằng nhau tại mỗi 60°.

Đa giác mang tên theo số cạnh; tứ giác có tổng góc là 360°, và tổng các góc trong của mỗi đa giác là $(n-2) \times 180°$. Một đa giác đều có tất cả các cạnh và góc bằng nhau: góc ngoài $= 360°/n$, góc trong $= 180° - 360°/n$ — ngũ giác đều có các góc trong là 108°. Các tứ giác đặc biệt lồng vào nhau: hình bình hành (cạnh đối và góc đối bằng nhau, đường chéo cắt nhau tại trung điểm), hình chữ nhật (cũng có các góc vuông), hình thoi (cũng có tất cả các cạnh bằng nhau, đường chéo vuông góc), hình vuông, hình diều, hình thang (một cặp cạnh song song). Hai hình là bằng nhau khi giống hệt nhau về hình dạng và kích thước (các điều kiện SSS, SAS, ASA, RHS); tương đồng các hình có các góc bằng nhau với các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Đường đối xứng của một hình phản chiếu nó lên chính nó; số thứ tự quay đối xứng là số lần hình khớp với chính nó trong một vòng quay (hình chữ nhật: 2 đường, số thứ tự 2; lục giác đều: 6 đường, số thứ tự 6).

Đọc thang đo thiết bị một cách hợp lý và ước tính trước khi tính toán; khoảng thời gian làm việc trên cả đồng hồ 12-giờ và 24-giờ. Một phép đo góc bao gồm phương hướng ba chữ số: đo theo chiều kim đồng hồ từ phía Bắc, viết dưới dạng ba chữ số — 040°, không phải 40°. Phương hướng lại đảo ngược: nếu Q nằm ở phương vị 040° so với P, thì P nằm ở phương vị 220° so với Q (cộng 180°, lấy kết quả mod 360).

Vận tốc trung bình là quãng đường chia cho thời gian; mật độ là khối lượng chia cho thể tích; áp suất là lực chia cho diện tích — tất cả đều thuộc một họ đại lượng hợp: cố định danh từ đơn vị (km/h, g/cm³, N/m²) và chuyển đổi cẩn thận. Một chiếc xe đi 234 km trong 2 giờ 36 phút vận tốc trung bình $234 \div 2.6 = 90$ km/h.

Đo và vẽ các đoạn thẳng đến milimet gần nhất; dựng tam giác từ SSS, SAS hoặc ASA bằng thước kẻ và êke. Với thước kẻ không có vạch chia và com-pa, dựng (i) đường trung trực của một đoạn thẳng và (ii) đường phân giác của một góc; những cái này cũng dựng các góc cụ thể (60° từ dựng cung tam giác đều, 90° bằng đường vuông góc, 45° bằng cách chia đôi). Các phép dựng trả lời câu hỏi tập hợp điểm: tập hợp các điểm có khoảng cách cố định từ một điểm (hình tròn), từ một đường thẳng (cặp đường song song), cách đều hai điểm (trung trực) hoặc từ hai đường thẳng (phân giác) — tô đậm vùng Các phép dựng trả lời câu hỏi về tập hợp điểm: tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định (hình tròn), cách đều một đường thẳng (cặp đường song song), cách đều hai điểm (đường trung trực) hoặc cách đều hai đường thẳng (đường phân giác) — tô vùng thỏa mãn đồng thời nhiều điều kiện.

Bản vẽ tỉ lệ và bản đồ mang tỷ số (1 : 50 000): chuyển đổi khoảng cách trên bản đồ sang khoảng cách thực tế thông qua hệ số tỉ lệ, giữ đơn vị rõ ràng. khoảng cách thông qua hệ số tỷ lệ, giữ nguyên đơn vị rõ ràng.

Thuật ngữ đường tròn: tâm, bán kính, đường kính, đ dây cung, chu vi, tiếp tuyến (chạm tại một điểm, vuông góc với bán kính tại điểm đó), cung, hình quạt, hình viên phân. (chạm tại một điểm, vuông góc với bán kính tại đó), cung tròn, hình quạt, hình thoi tròn. Mức cơ bản sử dụng tính chất dây cung và tiếp tuyến theo cách không chính thức; mức nâng cao yêu cầu chương trình đầy đủ với các lý do chuẩn mực. chương trình có lý do tiêu chuẩn. Tứ giác nội tiếp có các góc đối angles summing to 180°; the angle at the centre is twice the angle at the circumference trên cùng một cung; góc nội tiếp trong cùng một cung bằng nhau; góc nội tiếp trong bán nguyệt (đứng trên một đường kính) là góc vuông; và góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp trong cung đối diện (định lý cung đối diện). Tính chất dây cung: đường vuông góc từ tâm phân chia đôi dây cung; hai dây cung cắt nhau thỏa $AE \times EB = CE \times ED$, và phiên bản bên trong/bên ngoài làm mạnh thêm họ này.

Ví dụ minh họa: 1HR Tháng Sáu 2024 Q13, đã điều chỉnh. $A$, $B$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn tâm $O$ với $\angle BCD = 128°$; tìm $\angle OBD$. Hai góc đối của tứ giác nội tiếp cộng lại bằng 180°, nên $\angle BAD = 180 - 128 = 52°$. Góc ở tâm là gấp đôi góc ở đường tròn cùng chắn một cung: $\angle BOD = 104°$. Tam giác $OBD$ là tam giác cân ($OB = OD$, bán kính), nên $\angle OBD = \tfrac{180 - 104}{2} = 38°$. Mỗi bước tính toán số học đều nêu rõ lý do — đó chính là những gì danh sách điểm thưởng chi trả cho.

Định lý Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$ trong tam giác vuông (6-8-10 là bộ ba số nguyên; 5-12-13 là bộ khác). SOH CAH TOA cho $\sin\theta = \tfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$, $\cos\theta = \tfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$, $\tan\theta = \tfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$ — dùng theo chiều thuận cho cạnh và ngược lại (Shift-sin) cho góc. Góc nâng tăng lên từ phương ngang, còn góc nghiêng giảm xuống từ nó (góc so le đưa nó vào trong tam giác).

Mở rộng tỷ số sang góc tù: $\sin 130° = \sin 50°$ (sin vẫn dương), $\cos 130° = -\cos 50°$ (cosin chuyển sang âm). Mọi tam giác giờ đây đều tuân theo định lý sin $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ (một cặp — cạnh chia cho góc đối — cộng thêm một phần nữa) hoặc định lý cosin $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ (hai cạnh và góc xen giữa, hoặc ba cạnh), và công thức tính diện tích $\tfrac12 ab\sin C$ hoạt động ngược lại: diện tích 15 với $a = 6$, $b = 10$ cho $\sin C = \tfrac{2 \times 15}{60} = 0.5$, do đó $C = 30°$ (hoặc $150°$ nếu sơ đồ hiển thị góc tù).

Ví dụ minh họa: quy tắc sin. Trong tam giác $ABC$, $\angle A = 40°$, $\angle B = 65°$ và $a = BC = 8$ cm. Tìm $b = AC$. Sử dụng cặp cạnh-chia-góc đối hai lần:

Ví dụ minh họa: quy tắc cosin với góc tù. Hai cạnh $7$ cm và $9$ cm giao nhau tại $110°$. Tìm cạnh thứ ba $a$:

Vì $\cos 110°$ mang giá trị âm, nên số hạng cuối cùng được cộng; cạnh đối diện với góc tù là cạnh dài nhất. Kiểm tra máy tính đang ở chế độ đo độ.

3Vấn đề là 2Vấn đề nằm bên trong khối hình: xác định tam giác vuông, sau đó áp dụng Pythagoras hoặc lượng giác như thường lệ. Trong hình hộp chữ nhật có đáy 6 cm × 8 cm và chiều cao 10 cm, đường chéo đáy là $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ cm, và đường chéo không gian là $\sqrt{6^2 + 8^2 + 10^2} = \sqrt{200} \approx 14.1$ cm; góc giữa đường chéo không gian và đường chéo đáy thỏa mãn $\tan\theta = \tfrac{10}{10}$, do đó $\theta = 45°$.

Ví dụ minh họa: 1HR Tháng Sáu 2024 Q22, đã điều chỉnh. Các điểm $B$, $M$, $P$ trong một khối đặc có $BM = \sqrt{200}$, $BP = \sqrt{244}$ và $MP = 10$ (mỗi độ dài tự tìm thấy bằng Pythagoras trong tam giác vuông của hộp). Góc $BMP$ cần định lý cosin trên tam giác $BMP$:

Trình tự giải quyết: xác định tam giác mục tiêu, tìm ba cạnh của nó (mỗi cạnh có thể bằng Pythagoras riêng của nó), sau đó áp dụng định lý cosin hoặc sin, giữ nguyên góc bạn muốn ở tâm của ký hiệu.

Chuyển đổi đơn vị metric: chiều dài cm↔m theo 100, diện tích theo $100^2$, thể tích theo $100^3$ (1 m³ = 10⁶ cm³). Chu vi và diện tích được xây dựng từ các tam giác ($\tfrac12 bh$), hình chữ nhật, hình bình hành ($bh$) và hình thang ($\tfrac12(a+b)h$); hình tròn có chu vi $2\pi r$ và diện tích $\pi r^2$ (bao gồm cả hình bán nguyệt). Các hình hợp thành được chia thành các phần này.

Ví dụ minh họa: 2HR Tháng Sáu 2024 Q10, đã điều chỉnh. Lục giác $ABCDEF$ có $AB \parallel FC \parallel ED$ with $AB = 11$, $ED = FC = 23$, the perpendicular distance between $FC$ và $ED$ bằng 4.7 (cm) và cạnh xiên $BC = 5$ tạo với $FC$ góc $30°$. Dải giữa $FC$ và $ED$ là một hình chữ nhật; phía trên nó, độ cao của hình thang $ABCF$ là $5\sin 30° = 2.5$. Chia: hình chữ nhật $23 \times 4.7 = 108.1$ cộng hình thang $\tfrac12(11 + 23) \times 2.5 = 42.5$, nên diện tích là $150.6\ \text{cm}^2$ (chính xác $\tfrac{753}{5}$). Vẽ các đường phân cách trước khi tính toán.

Nâng cao thêm quạt tròn: cung $= \tfrac{\theta}{360} \times 2\pi r$, diện tích quạt $= \tfrac{\theta}{360} \times \pi r^2$ — for $r = 9$, $\theta = 40°$: arc $= 2\pi \approx 6.28$, area $= 9\pi \approx 28.3$. Chu vi quạt cộng thêm hai bán kính. Khối hình: lăng trụ $V = \text{cross-section} \times \text{length}$ (hình hộp chữ nhật, hình trụ $V = \pi r^2 h$, diện tích bề mặt $2\pi r^2 + 2\pi rh$); nón $V = \tfrac13 \pi r^2 h$ với mặt cong diện tích bề mặt $\pi r l$ ($l$ là đường sinh); cầu $V = \tfrac43\pi r^3$, diện tích $4\pi r^2$. A cone $r = 3$, $h = 4$ has $l = 5$ (Pythagoras), $V = 12\pi$, curved bề mặt $15\pi$.

Các hình đồng dạng có các độ dài tương ứng trong tỉ lệ cố định $k$ (tỷ số đồng dạng scale factor : khi đó diện tích tỷ lệ theo $k^2$ và thể tích theo $k^3$ — và ngược lại, một tỉ lệ diện tích $4 : 9$ có nghĩa là tỉ lệ độ dài $2 : 3$. Bản đồ và mô hình sử dụng $k$ trực tiếp.

Ví dụ minh họa: họ đề 2HR Tháng Sáu 2024 Q24, đã điều chỉnh. Khối $B$ tương đồng với khối $A$ with every length $k$ times $A$'s. Volumes then scale by $k^3$: the paper's cặp nón-côn-tâm-sphere cho $k^3 = \tfrac{125}{8}$, do đó $k = \sqrt[3]{\tfrac{125}{8}} = \tfrac52 = 2.5$. A second pair with length ratio $4$ has volume ratio $4^3 = 64$ — thể rắn lớn hơn chứa 64 lần thể tích nhỏ hơn. Thiết lập tỷ lệ trên độ dài trước, sau đó bình phương hoặc lập phương một lần.

Ví dụ có lời giải: diện tích sang thể tích. Hai chiếc chai đồng dạng có diện tích bề mặt $180\ \text{cm}^2$ và $405\ \text{cm}^2$. Chiếc nhỏ chứa $320\ \text{cm}^3$. Tìm thể tích của chiếc lớn. Thực hiện theo hệ số tỷ lệ độ dài: thể tích của phần lớn hơn. Hãy xem xét hệ số tỷ lệ độ dài:

Lỗi thường gặp là nhân thể tích với tỷ số diện tích $2.25$ (cho kết quả $720\ \text{cm}^3$).

• Phân loại góc; sử dụng tính chất đường thẳng, điểm, đường song song và tam giác, bao gồm góc ngoài và tổng đa giác với góc trong/ngoài đa giác đều (F 4.1, 4.2).
• Sử dụng phương vị, vận tốc/quãng thời gian, mật độ và áp suất như các đại lượng hợp (F 4.3).
• Sử dụng chỉ số phương hướng, tốc độ/quãng thời gian, mật độ và áp suất như các đại lượng hợp (F 4.4).
• Vẽ tam giác, tia phân giác và đường vuông góc; trả lời câu hỏi về tập hợp điểm và bản vẽ tỉ lệ (F 4.5, F 4.11 B).
• Sử dụng ngôn ngữ đường tròn và tính chất dây cung/đường tiếp tuyến; Nâng cao: tứ giác nội tiếp, góc tâm/góc nội tiếp, dây cung cắt nhau — mỗi bước kèm lý do chuẩn (F 4.6–4.7, H 4.6–4.7; Tháng Sáu 2024 1HR Q13).
• Pythagoras và SOH CAH TOA trong 2D với góc nâng và góc hạ; tỷ thức góc tù, định lý sin, định lý cosin và ½ab sin C bao gồm cả đảo ngược (F 4.8, H 4.8 A–C, E).
• Giải bài toán 3D bằng cách tách ra các tam giác vuông; định lý cosin trên tam giác đã tách (H 4.8 D, F; Tháng Sáu 2024 1HR Q22).
• Chu vi và diện tích bao gồm hình thang, đường tròn và hình quạt; diện tích bề mặt và thể tích của lăng trụ, trụ tròn, nón và cầu với chuyển đổi đơn vị (F 4.9–4.10, H 4.9, H 4.10; Tháng Sáu 2024 2HR Q10).
• Tỷ lệ chiều dài : diện tích : thể tích $k : k^2 : k^3$, áp dụng theo cả hai chiều (F 4.11, H 4.11; Tháng Sáu 2024 2HR Q24 gia đình).

Ghi chú biên: phương vị là ba chữ số; các phép dựng hình được đánh giá dựa trên cung tròn có thể thấy (giữ nguyên trong ngoặc đơn); radian bị loại trừ — chỉ dùng độ; trường hợp sin bất định và 3D làm việc với đường tròn nằm ngoài danh mục. Foundation chỉ bao gồm hàng 4.1–4.11 của Foundation. Các ví dụ đã giải được điều chỉnh từ cặp Higher tháng Sáu 2024 đã xem xét (xem bằng chứng đánh giá của meta); các câu hỏi trong tài liệu đều là bản gốc trừ khi được ghi nhãn.