3 · Sequences, functions and graphs

4MA1 chủ đề 3 (vấn đề quy hoạch 2, Tháng Mười Một 2017). Hàng Foundation 3.1 và 3.3 là chung với Level cao; khối ký hiệu hàm 3.2 và khối giải tích 3.4 chỉ dành riêng cho Level cao, và Level cao 3.3 mở rộng công việc đồ thị sang hàm lập phương, nghịch đảo, đường cong lượng giác, phép biến hình và giao điểm. Trong các bài kiểm tra Level cao tháng Sáu 2024, Strand này là phần nặng nhất trong sáu chủ đề (khoảng một phần ba mỗi đề) và mang theo các tiêu chí phân loại A/A*: tổng chuỗi đại số, hàm hợp, đường vuông góc, giao điểm đường – đường cong và điểm dừng.

Kiến thức bắt buộc cho chủ đề 3 (Tài liệu công thức nâng cao chỉ cung cấp quy tắc dãy số và quy tắc hình thang):

Quy tắc từ số hạng này sang số hạng kia chỉ cách tìm số hạng tiếp theo (thêm 4: 5, 9, 13, 17, …; nhân với 2: 1, 2, 4, 8, …); một quy tắc từ vị trí sang số hạng cho ra ngay số hạng từ vị trí của nó. Đối với dãy số cộng có số hạng đầu là $a$ và bước chênh lệch chung là $d$, thì số hạng thứ $n$ là $u_n = a + (n-1)d$: đối với 1, 3, 5, 7, … quy tắc là $2n - 1$, và "số hạng thứ n là $4n + 3$" tạo ra 7, 11, 15, … Kiểm tra một quy tắc dự kiến trên hai vị trí trước khi tin tưởng vào nó.

Nâng cao thêm tổng của một dãy số cộng. Ghép số hạng đầu với cuối, số hạng thứ hai với số hạng thứ hai từ cuối, … sẽ tạo ra $n/2$ cặp tổng bằng nhau mỗi cặp có giá trị $a + u_n$:

Đối với $4+7+10+13+\cdots$: $a=4$, $d=3$, nên $S_{50} = 25\,(8 + 49 \times 3) = 25 \times 155 = 3875$. Recovering $a$ and $d$ từ hai số hạng sử dụng quy tắc số hạng như hệ phương trình đồng thời: nếu $u_2 = 7$ và $u_5 = 19$, thì $3d = 12$, do đó $d = 4$ và $a = 7 - 4 = 3$.

Ví dụ minh họa (1HR Tháng Sáu 2024 Câu 23, điều chỉnh). Ba số hạng liên tiếp của một dãy số cộng là $4x-14$, $x+2$ và $7x-9$. Các số hạng liên tiếp mang bước chênh lệch chung, vì vậy $(x+2)-(4x-14) = (7x-9)-(x+2)$, dẫn đến $-3x + 16 = 6x - 11$, suy ra $x = 3$. Các số hạng là $-2, 5, 12, \ldots$: $a = -2$, $d = 7$. Khi đó $S_{40} = 20\left[2(-2) + 39 \times 7\right] = 20 \times 269 = 5380$. Keep $a$, $d$ biểu thức cho đến khi thay số cuối cùng — phần đại số, không phải tính toán số học, mới mang lại điểm số.

Một hàm ánh xạ mỗi đầu vào của một tập hợp sang đúng một đầu ra của tập hợp khác: viết $f(x) = \ldots$ hoặc $f{:}\ x \mapsto \ldots$. Miền xác định là tập các giá trị đầu vào được phép; miền giá trị là tập các đầu ra. Loại bỏ các đầu vào vi phạm quy tắc: đối với $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$, loại trừ $x = 2$; đối với $f(x) = \sqrt{x}$, chọn $x \ge 0$.

Hàm hợp $\mathrm{fg}(x) = f(g(x))$ áp dụng $g$ trước, sau đó $f$ — đầu ra của $g$ phải là một đầu vào hợp lệ của $f$. Hàm nghịch $f^{-1}$ hoàn tác $f$, và chỉ tồn tại nơi $f$ là đơn ánh: đối với $f(x) = \sqrt{x-2}$ (miền xác định $x \ge 2$, miền giá trị $f \ge 0$), viết $y = \sqrt{x-2}$ và bình phương sẽ thu được $x = y^2 + 2$, do đó $f^{-1}(x) = x^2 + 2$ trên miền xác định $x \ge 0$. Luôn kiểm tra $f^{-1}(f(x)) = x$.

Ví dụ có lời giải (2HR Tháng Sáu 2024 Câu 17, điều chỉnh). Cho $f(x) = \dfrac{x}{2x-4}$ và $g(x) = 3x+1$; tìm $k$ biết $\mathrm{fg}(k) = 2$. Trước tiên tính $g(k) = 3k+1$, sau đó

suy ra $3k+1 = 12k-4$, thu được $9k = 5$ và $k = \tfrac59$. (Mẹo nên nhớ: giải $f(x) = 2$ trước sẽ thu được $x = 8/3$, do đó đặt $g(k) = 8/3$ — kết quả giống nhau nhưng ít đại số hơn.)

Tọa độ Descartes xác định vị trí các điểm trong cả bốn góc phần tư; trung điểm là trung bình cộng của tọa độ đầu cuối: $M = \left(\tfrac{x_1+x_2}{2}, \tfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. Độ dốc của một đường thẳng bằng độ thay đổi của $y$ chia cho độ thay đổi của $x$: đi qua $(1,7)$ và $(2,9)$, độ dốc là $2$. Đường thẳng $y = mx+c$ có độ dốc $m$ và cắt trục $y$ tại $(0,c)$ — với $y = 3x+5$, độ dốc là 3 và tung độ gốc là $(0,5)$. Các trường hợp đặc biệt: $x = k$ là đường thẳng đứng (không có độ dốc hữu hạn), $y = c$ là đường thẳng ngang (độ dốc 0). Đồ thị chuyển đổi (tiền tệ, nhiệt độ) được đọc theo cùng cách.

Giải thích đồ thị thực tế là một phần của khối nội dung này: trên đồ thị khoảng thời gian thì độ dốc là vận tốc; trên đồ thị vận tốc thời gian thì độ dốc là gia tốc và diện tích dưới đồ thị là quãng đường di chuyển. Thực hành vẽ bao gồm điền bảng giá trị cho các đường thẳng (bao gồm dạng $ax + by = c$) và hàm bậc hai, vẽ một đường cong trơn tru đi qua các điểm đã đánh dấu — không bao giờ dùng các đoạn thẳng nối giữa chúng.

Đường thẳng song song có cùng độ dốc. Đường thẳng vuông góc có độ dốc nhân với nhau bằng $-1$: vuông góc với $m$ là $-1/m$. Đường thẳng đi qua $(x_1, y_1)$ với độ dốc $m$ là $y - y_1 = m(x - x_1)$.

Ví dụ có hướng dẫn (2HR Tháng Sáu 2024 Câu 21, điều chỉnh). $ABCD$ là hình vuông có $A(-5, 2)$ và $B(3, 5)$; tìm phương trình của $BC$ theo dạng $ax + by + c = 0$. Hai cạnh kề của hình vuông vuông góc với nhau. Độ dốc của $AB$ là $\tfrac{5-2}{3-(-5)} = \tfrac38$, nên độ dốc của $BC$ là $-\tfrac83$. Đi qua $B(3,5)$: $y - 5 = -\tfrac83(x-3)$, do đó $3y - 15 = -8x + 24$, cho ra $8x + 3y - 39 = 0$. Mở ngoặc ở cuối để $a$, $b$, $c$ là số nguyên, như yêu cầu.

3.3 cao hơn yêu cầu nhận biết và vẽ ba họ đường cong ngoài parabol: đa thức bậc ba $y = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ (bất kỳ dấu nào; $y = x^3 - 4x$ tăng–giảm–tăng), nghịch đảo $y = A/x$, $y = A/x^2$, $y = A/x^3$ (hai nhánh, tiệm cận, không bao giờ cắt trục tọa độ) và đồ thị lượng giác $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$ cho góc có kích thước bất kỳ trong độ — sin và cos dao động giữa $-1$ và $1$ với chu kỳ 360°; tangent lặp lại mỗi 180° và bị phá vỡ tại $90° + 180°n$. Một đường tròn tâm gốc tọa độ có $x^2 + y^2 = r^2$ — đường tròn được đưa vào khóa học này như là đường cong thứ hai của một bài toán giao điểm .

Bốn biến đổi của $y = f(x)$ là cần thiết, đối với hàm tuyến tính, hàm bậc hai, hàm sin và hàm cos:

Các hàm bên trong hoạt động "ngược" trên $x$ và chỉ trên $x$. Với $f(x) = x^2$: $y = f(x-2)+5 = (x-2)^2 + 5$ moves the minimum from $(0,0)$ to $(2, 5)$; $y = f(2x) = 4x^2$ gấp đôi $x$-values, làm cho parabol hẹp hơn, không cao hơn. Đối với $y = \sin 2x$, chu kỳ giảm đi một nửa về 180°. Đọc phép biến đổi được vẽ từ đồ thị (điểm cực trị đã đi đến đâu?) và viết nó dưới dạng đại số — cả hai chiều đều được đánh giá.

Độ dốc của đường cong: kẻ tiếp tuyến tại điểm đó và lấy độ dốc của nó là tăng/giảm — đo lường dựa vào đường thẳng vẽ, không phải đường cong. Độ dốc chính xác của đường cong cần dùng vi phân (phần tiếp theo).

Giao điểm: các $x$-values nơi đường thẳng $y_1$ cắt đường cong phi tuyến $y_2$ chính là nghiệm của $y_2 - y_1 = 0$. Các điểm giao nhau giữa $y = 2x+1$ và $y = x^2 + 3x - 2$ giải phương trình $x^2 + x - 3 = 0$; của $y = 5$ và $y = x^3 - 3x^2 + 7$, giải $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$.

Ví dụ có lời giải (2HR Tháng Sáu 2024 Câu22, điều chỉnh). Tìm nơi đường thẳng $y = 3x - 1$ gặp đường cong $x^2 + y^2 = y + 11$. Thay đường thẳng vào đường cong:

nên $x = -\tfrac35$ hoặc $x = \tfrac32$, với $y = 3x-1$ cho kết quả $y = -\tfrac{14}{5}$ hoặc $y = \tfrac72$. Các điểm là $\left(-\tfrac35, -\tfrac{14}{5}\right)$ và $\left(\tfrac32, \tfrac72\right)$ — thay ngược lại vào phương trình còn lại để kiểm tra: $\tfrac94 + \tfrac{49}{4} = \tfrac{58}{4} = 14.5 = \tfrac72 + 11$. ✓

Độ dốc của đường cong thay đổi dọc theo nó: tốc độ biến thiên. Vi phân cho biết chính xác: đối với lũy thừa nguyên của $x$,

Đối với $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$: $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 16x - 12$. Một điểm dừng có $\dfrac{dy}{dx} = 0$: tại đây $3x^2 - 16x - 12 = (3x+2)(x-6)$, nên $x = -\tfrac23$ hoặc $x = 6$. Phân biệt cực đại và cực tiểu dựa theo hình dáng của đồ thị: một hàm bậc ba với hệ số dương $x^3$ tăng–giảm–tăng... tại đây $y \to -\infty$ là $x \to -\infty$, nên điểm dừng bên trái $x = -\tfrac23$ là cực đại ($y = \tfrac{247}{27} \approx 9.1$) and the right one is the minimum ($y(6) = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$).

Ví dụ có hướng dẫn (1HR Tháng Sáu 2024 Câu 19, điều chỉnh). $C$ có phương trình $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$ và có đúng hai điểm dừng $A$ và $B$ với $x_A > x_B$; tìm $A$. Vi phân và đặt bằng không: $(3x+2)(x-6) = 0$, và nghiệm lớn hơn là $x = 6$. Thay vào đường cong: $y = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$, nên $A = (6, -139)$. Điểm số tuân theo chuỗi — vi phân (ít nhất hai vế phải), đặt bằng không, giải phương trình bậc hai, thay ngược lại.

Chuyển động học: với độ dịch chuyển $s$ mét sau $t$ giây, vận tốc là tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển và gia tốc là tốc độ thay đổi của vận tốc: $v = \dfrac{ds}{dt}$, $\quad a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2s}{dt^2}$. Đối với $s = t^3 - 24t$ (mét, $0 \le t \le 20$): $v = 3t^2 - 24$ m/s và $a = 6t$ m/s². Particle ngưng chuyển động tức thời tại nơi $v = 0$: $t = \sqrt{8} = 2.83$ s (3 chữ số có nghĩa).

• Tạo dãy số từ quy tắc từ số hạng sang số hạng và từ vị trí sang số hạng; tìm quy tắc của dãy số nguyên (F 3.1 A–B).
• Sử dụng $u_n = a + (n-1)d$ cho cấp số cộng; tìm $a$ và $d$ từ bất kỳ hai số hạng nào (F 3.1 C, H 3.1 A–B).
• Tính tổng cấp số cộng với $S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$, bao gồm các số hạng đại số (H 3.1 C; Tháng Sáu 2024 1HR Q23).
• Sử dụng ký hiệu $f(x)$ và $f{:}\,x\mapsto$; phát biểu tập xác định với các loại trừ và tập giá trị (H 3.2 A–C).
• Xây dựng $\mathrm{fg}(x)$ — $g$ trước — và tìm $f^{-1}$ trên miền một-một (H 3.2 D; tháng Sáu 2024 2HR Q17).
• Đọc, vẽ và giải thích đồ thị trong tất cả các góc phần tư: điểm giữa, đồ thị chuyển đổi, đồ thị khoảng cách/tốc độ–thời gian, bảng giá trị (F 3.3 A–I).
• Hệ số góc từ hai điểm; $y = mx + c$; phương trình đường thẳng song song và vuông góc đi qua một điểm (F 3.3 G–H, H 3.3 F–G; Tháng Sáu 2024 2HR Câu 21).
• Nhận biết và vẽ nháp các hàm bậc ba, đường cong nghịch đảo, $\sin/\cos/\tan$, và đường tròn tâm gốc tọa độ $x^2+y^2=r^2$ (H 3.3 A).
• Áp dụng và đọc ra bốn phép biến hình $f(x)+a$, $f(x+a)$, $af(x)$, $f(ax)$ (H 3.3 B–C).
• Ước lượng hệ số góc của đường cong bằng cách kẻ tiếp tuyến (H 3.3 D).
• Giải các giao điểm tuyến tính–phi tuyến thông qua $y_2 - y_1 = 0$ và kiểm tra bằng cách thế (H 3.3 E; tháng Sáu 2024 2HR Q22).
• Đạo hàm theo lũy thừa nguyên; tìm điểm dừng; phân loại cực đại/cực tiểu dựa vào hình dạng đồ thị (H 3.4 A–D; tháng Sáu 2024 1HR Q19).
• Áp dụng vi phân vào chuyển động: $v = ds/dt$, $a = dv/dt$, và "đứng yên" có nghĩa là $v = 0$ (H 3.4 E).

Lưu ý biên: cấp số nhân và tổng vô hạn không được xét ở mức này (không có hàng cấp số nhân trong 4MA1 3.1); đạo hàm chỉ giới hạn ở lũy thừa nguyên của $x$ — quy tắc chuỗi, quy tắc tích và thương không được xét; đơn vị radian không được xét (sử dụng độ trong suốt). Foundation candidates meet 3.1 and 3.3 only. Worked examples above are adapted from the bộ đề Tháng Sáu 2024 trình độ cao (xem bằng chứng đánh giá của meta); tất cả các câu hỏi khác về các tờ giấy đều là bài mới.