FP1 · Further Pure Mathematics 1

Toán Thuần Nâng cao 1 (FP1, đề WFM01/01, 1 giờ 30 phút, 75 điểm) là bắt buộc đối với Toán Thuần Nâng cao Quốc tế AS và A Level, cũng như Toán Thuần Quốc tế AS và A Level. Toán học. P1–P2 được giả định và có thể kiểm tra, bao gồm vị trí thay đổi dấu của nghiệm, quay hình quanh gốc tọa độ, và chia đa thức bậc ba hoặc bậc tư cho đa thức bậc hai. Nội dung tham khảo này bao gồm số phức, nghiệm của phương trình bậc hai, phương pháp số, parabol và hyperbol vuông góc, đại số ma trận, phép biến đổi, chuỗi hữu hạn và chứng minh theo quy nạp. bằng quy nạp.

Kiến thức cần nhớ cho FP1 (không có trong tập tài liệu):

Một số phức là $z = a + bi$ với $i^2 = -1$; $a$ là phần thực, $b$ là phần ảo. Số liên hợp $\bar z = a - bi$ đảo dấu của phần ảo, và $z\bar z = a^2 + b^2 = \lvert z\rvert^2$ — mẹo giúp làm cho mẫu số trở nên thực: $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1\bar z_2}{\lvert z_2\rvert^2}$. Hai số phức bằng nhau chỉ khi cả phần thực và phần ảo đều khớp nhau. Dạng cực $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ ghép mô-đun $r$ với argument (chỉ xác định khi $z\ne0$) $\theta$; nhân các số phức sẽ nhân mô-đun của chúng ($\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert$).

Ví dụ mẫu — một tổng thực xác định phần ảo. $z_1 = r(\cos\tfrac{7\pi}6 + i\sin\tfrac{7\pi}6)$ với $r > 0$, và $z_2$ có mô-đun 5. Vì $\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert = 5r = 15$, ta có $r = 3$. Vậy $z_1 = 3(-\tfrac{\sqrt3}2 - \tfrac12i) = -\tfrac{3\sqrt3}2 - \tfrac32 i$. Nếu $z_1 + z_2$ là số thực, phần ảo của nó là không, nên $z_2 = a + \tfrac32 i$; sau đó $a^2 + \tfrac94 = 25$ dẫn đến $a = \pm\tfrac{\sqrt{91}}2 \approx \pm4.77$. Cả $z_2 = \tfrac{\sqrt{91}}2 + \tfrac32i$ và ảnh đối xứng của nó qua trục ảo đều thỏa mãn.

Trên biểu đồ Argand (Argand diagram), biểu diễn $z = a + bi$ dưới dạng điểm $(a, b)$: phép cộng là phép cộng vector, số liên hợp phản xạ qua trục thực, và $\lvert z\rvert$ là khoảng cách từ gốc tọa độ.

Đối với phương trình bậc hai có hệ số thực và biệt thức âm, hoàn thành bình phương: $x^2 - 6x + 13 = (x-3)^2 + 4 = 0$ cho $x = 3 \pm 2i$. Các nghiệm tạo thành một cặp số phức liên hợp — và điều này vẫn đúng ở mọi bậc: nếu $f(z_1) = 0$ có hệ số thực, thì $f(\bar z_1) = 0$ cũng vậy. Do đó, một đa thức bậc ba thực sẽ có ba nghiệm thực hoặc một nghiệm thực cộng với một cặp số phức liên hợp, và $(z - z_1)(z - \bar z_1) = z^2 - 2\operatorname{Re}(z_1)z + \lvert z_1\rvert^2$ là một thừa số bậc hai thực. Chia hết thừa số này để tìm phần còn lại.

Ví dụ minh họa — đa thức bậc tư có một nghiệm phức cho trước (WFM01 tháng 2025 Q7). $f(z) = Pz^4 - 36z^3 + Qz^2 + 192z + 68$ có nghiệm $3 + 5i$, nên $3 - 5i$ cũng là nghiệm và

Viết $f(z) = (z^2 - 6z + 34)(Pz^2 + bz + c)$ và so sánh: $34c = 68$ do đó $c = 2$; $-6c + 34b = 192$ suy ra $34b = 204$, $b = 6$; sau đó $b - 6P = -36$ đưa đến $P = 7$ và $c - 6b + 34P = Q$ cho $Q = 204$. (Kiểm tra đối chiếu với $f(3+5i) = 0$: phương trình thực $644P + 16Q = 7772$ đúng, vì $644(7) + 16(204) = 4508 + 3264 = 7772$.) Các nghiệm khác giải $7z^2 + 6z + 2 = 0$:

Không dùng máy tính: chỉ sử dụng phép toán số học $b^2 - 4ac < 0$ và tính chất liên hợp.

Đối với $ax^2 + bx + c = 0$ có nghiệm $\alpha, \beta$: $\alpha + \beta = -\tfrac ba$ và $\alpha\beta = \tfrac ca$. Biểu thức đối xứng trong $\alpha, \beta$ sau đó không cần cá nhân nghiệm: $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$, $\alpha^3 + \beta^3 \equiv (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$, và $\tfrac1\alpha + \tfrac1\beta = \tfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$. Để xây dựng một phương trình bậc hai mới, hãy biểu diễn tổng mới và tích của các nghiệm cũ; phương trình là $x^2 - (\text{sum})x + \text{product} = 0$.

Ví dụ minh họa — nghiệm mới mà không giải (WFM01 Tháng 6 2025 Câu 6). $f(x) = 3x^2 + kx - 5$ có các nghiệm $\alpha, \beta$, do đó $\alpha\beta = -\tfrac53$. Nếu $\alpha + \beta = 9\alpha\beta$, thì $-\tfrac k3 = -15$, nên $k = 45$ và $\alpha + \beta = -15$. Đối với các nghiệm $\alpha^2 + \beta$ và $\alpha + \beta^2$:

Phương trình mới là $9x^2 - 1920x - 31040 = 0$ (nhân $x^2 - \tfrac{640}3x - \tfrac{31040}9 = 0$ với 9).

Ba bộ định vị lặp: phương pháp chia đôi và nội suy cần hàm liên tục trên khoảng biên; Newton–Raphson cũng yêu cầu đạo hàm xác định và khác không tại mỗi bước, nhưng có thể không hội tụ. phương pháp chia đôi chia đôi một khoảng có sự đổi dấu; nội suy tuyến tính vẽ dây cung từ $(a, f(a))$ đến $(b, f(b))$ và lấy nghiệm của dây cung $\beta \approx a - \dfrac{(b-a)f(a)}{f(b)-f(a)}$; phương pháp Newton–Raphson

• (công thức được cung cấp trong tập hướng dẫn) lặp lại $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. Hiển thị toàn bộ các phép đánh giá — chỉ trả lời bằng máy tính sẽ không nhận điểm.

Ví dụ minh họa — chia đôi và nội suy (WFM01 Tháng 6 2025 Câu 3). (i) $f(x) = x^2 + 5 - 8^{5x}$ có một nghiệm duy nhất $\alpha$ trong $[0, 1]$: $f(0) = 4 > 0$, $f(0.5) = 5.25 - 8^{2.5} = -175.77 < 0$, do đó chia đôi: $f(0.25) = 5.0625 - 8^{1.25} = -8.392 < 0$. Sự đổi dấu nằm trong $[0, 0.25]$. (ii) $g(x) = 3^{\sin x} - 3\cos x$ (radian): $g(4) = 2.396 > 0$ và $g(5) = -0.502 < 0$, và $g$ là hàm liên tục, nên có một nghiệm $\beta$ nằm trong $[4, 5]$. Thực hiện một lần nội suy: $\beta \approx 4 + \dfrac{2.396}{2.396 + 0.502} = 4.827$ (4 s.f.).

Newton–Raphson (ví dụ gốc). Giải $x^3 - 2x - 5 = 0$ bắt đầu từ $x_0 = 2$: $f(2) = -1$, $f'(x) = 3x^2 - 2$ nên $f'(2) = 10$ và $x_1 = 2 - \tfrac{-1}{10} = 2.1$; sau đó $f(2.1) = 0.061$, $f'(2.1) = 11.23$, $x_2 = 2.0946$. Các giá trị lặp tiến gần đến nghiệm, xấp xỉ $2.09455$ (kiểm tra: $2.0946^3 - 2(2.0946) - 5 \approx +0.0005$).

Parabol $y^2 = 4ax$ có dạng tham số $x = at^2$, $y = 2at$; còn hyperbol vuông góc $xy = c^2$ có $x = ct$, $y = \tfrac ct$. Tiếp tuyến và pháp tuyến đến từ đạo hàm phương trình Cartesian (đạo hàm tham số không phải là $y^2 = 4ax$ cho $\tfrac{dy}{dx} = \tfrac{2a}y = \tfrac1t$ nên $t$ $xy = c^2$ cho $y = \tfrac{c^2}x$ nên $\tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{c^2}{x^2} = -\tfrac1{t^2}$ tại $x = ct$.

Ví dụ mẫu — pháp tuyến hyperbola (WFM01 tháng Sáu 2025 Q4). Đối với $xy = 81$ tại $P(9t, \tfrac9t)$: $\tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{81}{x^2} = -\tfrac1{t^2}$, vậy pháp tuyến có gradient $t^2$:

Trục $y$, $A = (0, \tfrac{9(1-t^4)}t)$. Với $t = \tfrac13$: $P = (3, 27)$ và $A = (0, \tfrac{80}3)$, nên tam giác $OPA$ có diện tích $\tfrac12 \times 3 \times \tfrac{80}3 = 40$.

trục chuẩn $(a, 0)$. Khoảng cách, không phải đại số, mới mở khóa các câu hỏi hình học. trục đối trực $x = -a$. Khoảng cách, không phải đại số, mới mở khóa các câu hỏi hình học.

Ví dụ minh họa — khoảng cách tiêu điểm-trục đối trực (WFM01 tháng Sáu 2025 Q9). $P$ nằm trên parabol 5 đơn vị từ tiêu điểm, do đó $P$ cũng cách trục đối trực 5 đơn vị ($PF = PM = 5$, với $PM$ vuông góc với trục đối trực). Các điểm $Q, R$ trên trục đối trực thỏa mãn $PQ = PR = 10$. Mỗi tam giác vuông $PQM$ tạo ra $QM = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt3$, và $M$ nằm giữa $Q$ và $R$, nên $QR = 10\sqrt3$.

Ma trận cộng từng phần tử (cùng kích thước), nhân vô hướng từng phần tử, và nhân theo hàng-cột ($(\mathbf{AB})_{ik} = \sum_j A_{ij}B_{jk}$; $\mathbf{AB} \ne \mathbf{BA}$ nói chung). Đối với ma trận $2\times 2$ $\det\mathbf M = ad - bc$: zero nghĩa là vô nghịch (không có ma trận ngược); ngược lại $\mathbf M^{-1} = \dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$, và $\mathbf M\mathbf M^{-1} = \mathbf I$. Ma trận ngược đảo thứ tự: $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}$ — hoàn tác phép biến đổi cuối cùng trước.

Ví dụ minh họa — một hàm nghịch đảo phải luôn nhất quán (WFM01 tháng Sáu 2025 Q1). $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&a\\3&-5\end{pmatrix}$ với $a \ne -\tfrac53$:

Cho $\mathbf M^{-1} = 2\mathbf M + 8\mathbf I = \begin{pmatrix}10&2a\\6&-2\end{pmatrix}$, so sánh các phần tử: $\dfrac{-3}{-(5+3a)} = 6$ cho $5 + 3a = \tfrac12$, và mọi phần tử khác xác nhận điều đó, nên $a = -\tfrac32$.

Ma trận $2\times 2$ $\mathbf M$ biến đổi các véc-tơ cột qua $\mathbf y = \mathbf{Mx}$; các cột của nó là ảnh của $\mathbf i$ và $\mathbf j$ — đọc bất kỳ phép biến đổi nào trực tiếp từ ma trận. Các kết quả chuẩn sau đây: ngoài ma trận. Các kết quả chuẩn:

Đối với tổ hợp, $\mathbf{AB}$ có nghĩa là "thực hiện $\mathbf B$ trước, sau đó thực hiện $\mathbf A$". Biến đổi ngược lại sẽ đảo ngược nó, và $\lvert\det\mathbf M\rvert$ là hệ số tỷ lệ diện tích: diện tích nhân với định thức (các định thức âm thêm một phép phản xạ).

Ví dụ minh họa — mô tả và kết hợp (WFM01 tháng 6 năm 2025 câu 2). $\mathbf P = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ ánh xạ $\mathbf i \to (0,-1)^T$ và $\mathbf j \to (1,0)^T$: quay một góc vuông theo chiều kim đồng hồ (270° ngược chiều kim đồng hồ) quanh $O$. $\mathbf Q = 5\mathbf I$ là phép phóng đại, hệ số tỷ lệ 5, tâm $O$. Phản xạ qua $y = -x$ là $\mathbf R = \begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}$, nên $A = \mathbf R(4,3)^T = (-3,-4)$. Nếu $\mathbf Q$ tuân theo $\mathbf P$ và ánh xạ $B$ sang $A$, thì $B = \mathbf P^{-1}\mathbf Q^{-1}A = \mathbf P^{-1}\cdot\tfrac15(-3,-4)^T = \tfrac15(4,-3)^T = (0.8, -0.6)$ — chính invers của $\mathbf P$ là chuyển vị của nó, vì vậy đây chỉ là tính toán thuần túy.

Với $\sum_{r=1}^n r = \tfrac12 n(n+1)$ (và $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$ từ tập sách), bất kỳ tổng đa thức nào cũng phân tách thành các thành phần chuẩn — bao gồm cả tổng đến giới hạn chẵn $2n$ (thay thế $k = 2n$ vào các công thức chuẩn) và các tổng dịch chuyển như $\sum (r+1)^2$.

Ví dụ minh họa — một tổng đến 2n (WFM01 tháng 6 năm 2025 câu 8a). Chứng minh rằng $\sum_{r=1}^{2n}(2r^2 - 1) = \tfrac43 n(n+1)(an + b)$:

và $4n^2 + 3n - 1 = (n+1)(4n - 1)$, nên tổng là $\tfrac43n(n+1)(4n-1)$: $a = 4$, $b = -1$. (Kiểm tra $n = 1$: $1 + 7 = 8$ và $\tfrac43\cdot1\cdot2\cdot3 = 8$.)

Quy nạp toán học chứng minh một phát biểu $P(n)$ đúng với mọi số nguyên dương trong ba bước: kiểm tra $P(1)$; giả sử $P(k)$ đúng; suy ra $P(k+1)$ từ điều đó — rồi kết thúc bằng "đúng cho $n = 1$", và tính đúng đắn của $n = k$ kéo theo tính đúng đắn của $n = k+1$, nên theo quy nạp phát biểu đúng với mọi số nguyên số nguyên $n$". Câu kết là một phần của chứng minh. Bốn nhóm được đánh giá: tổng cộng tổng, tính chia hết, dãy số xác định bởi quan hệ truy hồi và lũy thừa ma trận.

Ví dụ giải chi tiết — tổng (WFM01 tháng 6 2025 câu 8b). Chứng minh $\sum_{r=1}^n r(3r-2)^2 = \tfrac14 n^2(n+1)(9n-7)$. Đối với $n = 1$: VT $= 1\cdot1^2 = 1$ và VP $= \tfrac14\cdot1\cdot2\cdot2 = 1$ — đúng. Giả sử đúng với $n = k$; số hạng thứ $(k+1)$ là $(k+1)(3k+1)^2$, nên

Khai triển ngoặc: $9k^3 - 7k^2 + 36k^2 + 24k + 4 = 9k^3 + 29k^2 + 24k + 4$. Mục tiêu đối với $n = k+1$ là $\tfrac14(k+1)^2(k+2)(9k+2)$, và ngoặc của nó $(k+1)(k+2)(9k+2)$ khai triển thành $(k^2+3k+2)(9k+2) = 9k^3 + 29k^2 + 24k + 4$ — giống hệt nhau. Vậy phát biểu đúng với $n = k+1$, và theo quy nạp đúng với mọi số nguyên dương $n$.

Tính chia hết (ví dụ gốc). Chứng minh $n^3 + 2n$ chia hết cho 3. Với $n = 1$: $3$. Giả sử $k^3 + 2k = 3m$; khi đó $(k+1)^3 + 2(k+1) = (k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3 = 3(m + k^2 + k + 1)$, vẫn là bội số của 3. Theo quy nạp, đúng với mọi $n$.

Lũy thừa ma trận (ví dụ gốc). Chứng minh $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$. Đúng với $n = 1$. Nếu đúng với $k$, thì $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^{k+1} = \begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&k+1\\0&1\end{pmatrix}$, hoàn tất phần chứng minh bằng quy nạp.

• Làm việc với $a + bi$ và $r(\cos\theta + i\sin\theta)$: mô-đun, argument, số phức liên hợp; các thương được đưa về dạng thực.
• Sử dụng cặp liên hợp để phân tích đa thức bậc ba và bậc tư có hệ số thực; tìm tất cả các nghiệm mà không dùng máy tính.
• Chuyển đổi biểu thức đối xứng qua $\alpha + \beta$ và $\alpha\beta$; lập phương trình bậc hai mới cho các nghiệm đã biến đổi.
• Tìm nghiệm bằng phương pháp chia đôi và nội suy tuyến tính với mọi bước đánh giá được hiển thị; lặp lại phương pháp Newton–Raphson từ một điểm xuất phát cho trước.
• Sử dụng $y^2 = 4ax$ và $xy = c^2$ theo tham số; tiếp tuyến/pháp tuyến qua vi phân tọa độ Descartes; khoảng cách từ tiêu điểm đến directrix.
• Đảo ngược ma trận $2\times2$ (và $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$); giải phương trình ma trận từng phần tử.
• Xác định phản xạ, quay, co dãn, phóng đại từ ma trận; kết hợp theo đúng thứ tự; sử dụng $|\det|$ làm hệ số tỷ lệ diện tích.
• Tính tổng chuỗi đến $n$ và $2n$ bằng các công thức chuẩn; chứng minh chuỗi, tính chia hết, truy hồi và kết quả ma trận bằng quy nạp toán học với câu kết luận.