M1 · Mechanics 1

Cơ học 1 (M1, đề WME01/01, 1 giờ 30 phút, 75 điểm, kỳ thi đầu tiên tháng Sáu 2019) là mô-đun ứng dụng của Toán International AS: P1 và P2 được giả định. Take $g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ unless told otherwise, and give inexact answers to 2 or 3 chữ số có nghĩa. Tài liệu tham khảo này bao gồm các giả định mô hình hóa, vector trong cơ học, vận động học gia tốc không đổi, các định luật Newton với vật liên kết, động lượng và xung lực, lực ma sát, tĩnh học và momen.

Kiến thức bắt buộc cho M1 (không có trong sổ công thức — cần thuộc lòng):

Các từ trong đề bài là chỉ dẫn. Một hạt chất có khối lượng nhưng không kích thước; một mặt phẳng mỏng có diện tích nhưng không độ dày; một thanh có chiều dài nhưng không độ dày; một vật rắn giữ hình dạng của nó. Ánh sáng có nghĩa là không khối lượng; một sợi dây nhẹ không tải qua pulley trơn sẽ có cùng lực căng trên toàn bộ. Đồng nhất có nghĩa là mật độ không đổi, do đó một thanh đồng nhất có trọng tâm nằm ở trung điểm. Một sợi dây không giãn giữ cố định chiều dài; một sợi dây căng qua một pulyl cố định liên kết độ lớn vận tốc các đầu mút, và bề mặt trơn so với bề mặt nhám quyết định liệu ma sát có tác dụng hay không. Ròng rọc nhẵn nhẹ thay đổi hướng của lực căng chứ không thay đổi độ lớn. Nêu giả định bạn sử dụng — "nhẵn, nên không có ma sát" — vì điểm số được tính cả trong phần mô hình hóa như trong phần đại số.

Độ dịch chuyển, vận tốc, gia tốc và lực đều là vector: $(3\mathbf i - 4\mathbf j)$ có độ lớn $5$ và hướng $\tan^{-1}(-4/3)$ từ trục +$x$. Phân tích thành các thành phần, hoạt động theo từng thành phần và kết hợp ở cuối. Véc-tơ tổng của $\begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a_2\\b_2\end{pmatrix}$ là $\begin{pmatrix}a_1+a_2\\b_1+b_2\end{pmatrix}$. Với $\mathbf i$ về phía đông và $\mathbf j$ về phía bắc, một hướng đi được đo theo chiều kim đồng hồ từ hướng bắc: véc-tơ $-5\mathbf i - 12\mathbf j$ chỉ về phía nam-tây, tại $\tan^{-1}(5/12) = 22.6°$ về phía tây so với hướng nam chính xác, do đó hướng đi của nó là $180 + 23 = 203°$.

Ví dụ minh họa — véc-tơ vị trí và hướng đi (WME01 Tháng 6 2025 Câu2). Hạt A có $\mathbf r_A(2) = (-5\mathbf i + 16\mathbf j)$ và $\mathbf r_A(5) = (10\mathbf i + 4\mathbf j)$. Vận tốc $= \dfrac{\Delta\mathbf r}{\Delta t} = \dfrac{15\mathbf i - 12\mathbf j}3 = 5\mathbf i - 4\mathbf j$, so $\mathbf r_A(t) = (-5\mathbf i + 16\mathbf j) + (t-2)(5\mathbf i - 4\mathbf j) = (5t-15)\mathbf i + (24-4t)\mathbf j$. With B at $\mathbf s_B = -5\mathbf i + 7\mathbf j + t(2\mathbf i - 3\mathbf j)$, at $t = 5$: $\overrightarrow{AB} = (5\mathbf i - 8\mathbf j) - (10\mathbf i + 4\mathbf j) = -5\mathbf i - 12\mathbf j$, bearing $203°$.

Gia tốc không đổi nghĩa là các công thức suvat áp dụng cho mỗi giai đoạn; điều quan trọng là dấu. Chọn dấu dương, ghi $s, u, v, a, t$ kèm dấu cho mỗi giai đoạn, và chọn công thức nào tránh đại lượng chưa biết mà bạn không cần tìm. Đồ thị: trên đồ thị vận tốc – thời gian, độ dốc là gia tốc và diện tích là độ dịch chuyển (diện tích dưới trục tọa độ tính âm); trên đồ thị tốc độ – thời gian không thể mang giá trị âm, nên chuyển động lên trước rồi xuống sau sẽ xuất hiện dạng chữ V.

Ví dụ minh họa — lên và xuống (WME01 Tháng 6 2025 Câu3). Một quả bóng được phóng thẳng đứng lên từ A, cao 12 m so với mặt đất tại B, và mất 4 s để đến B. Lấy hướng lên là dương với $A$ làm gốc, $s = -12$: $-12 = 4U - 4.9(16)$, nên $U = 16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ (2 chữ số đáng kể 17). Tốc độ tại mặt đất: $v^2 = 16.6^2 + 2(9.8)(12) = 510.8$, do đó $v = 22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. Đồ thị tốc độ-thời gian có dạng chữ V: giảm từ 16.6 xuống bằng không tại điểm cao nhất (sau $16.6/9.8 = 1.7$ s), sau đó tăng lên 22.6 tại $t = 4$ — đoạn đi xuống dài hơn và đạt vận tốc cao hơn; cả hai đoạn đều có hệ số góc có độ lớn $g$.

Định luật thứ hai của Newton, áp dụng theo một chiều dọc theo đường thẳng: $F_{\text{net}} = ma$ với mọi lực phân tích và có dấu. Đối với hai vật chất liên kết trên dây không dãn nhẹ, viết một phương trình chuyển động cho MỖI vật (cùng lực căng, cùng độ lớn vận tốc), sau đó triệt tiêu $T$. Trên mặt phẳng nghiêng, phân tích dọc theo và vuông góc với bề mặt dốc; $\tan\theta = 3/4$ có nghĩa là $\sin\theta = 3/5$, $\cos\theta = 4/5$.

Ví dụ minh họa — hai dây buộc trên thuyền barge (WME01 Tháng Sáu 2025 Câu4). Lực 800 N tác dụng ở góc $25°$ so với hướng chuyển động và 500 N ở góc $\alpha$ phía dưới hướng đó kéo một chiếc thuyền barge di thẳng dọc kênh. Vuông góc với hướng chuyển động không có gia tốc: $800\sin25° = 500\sin\alpha$, do đó $\sin\alpha = 0.676$ và $\alpha = 43°$. Dọc theo hướng chuyển động, với khối lượng 15000 kg và lực cản 750 N: $800\cos25° + 500\cos\alpha - 750 = 15000a$, suy ra $a = 0.023\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ — kết quả làm tròn ba chữ số thập phân khi các giá trị số học quá nhỏ.

Ví dụ minh họa — ròng rọc, từ lúc bắt đầu đến kết thúc (WME01 Tháng Sáu 2025 Câu8). Quả cầu P (khối lượng $kM$) và Q (khối lượng $3M$, $k < 3$) treo qua một ròng rọc cố định nhẹ và nhẵn, tăng tốc với $\tfrac g5$. Phương trình chuyển động: $T - kMg = kM\cdot\tfrac g5$ (P đi lên) và $3Mg - T = 3M\cdot\tfrac g5$ (Q đi xuống). Triệt tiêu $T$: $3Mg - kMg = \tfrac{g}5(3M + kM)$, suy ra $5(3-k) = 3+k$ và $k = 2$. Lực dây kéo ròng rọc xuống với lực $2T$: với $M = 0.5$ kg, $T = 1(9.8 + 1.96) = 11.76$ N, nên lực là $23.5$ N. Khi Q chạm đất sau khi rơi 2.5 m, vận tốc của nó là $\sqrt{2\cdot\frac g5\cdot2.5} = \sqrt{g} = 3.13$; nếu nó nảy lại ở $0.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, xung lượng tác dụng lên Q là $1.5(3.13 + 0.4) = 5.3$ N s. P sau đó trượt lên trên chỉ dưới tác dụng của trọng lực trong $\tfrac{\sqrt g}g = 0.32$ s sau một $5/\sqrt g = 1.60$ s giai đoạn đi xuống: tổng thời gian để dừng lại là $\approx 1.9$ s.

Động lượng $mv$ và xung lượng $I = mv - mu$ mang dấu dọc theo đường thẳng. Định luật thứ ba của Newton khiến cho xung lượng tác dụng lên mỗi vật va chạm có độ lớn bằng nhau và ngược chiều — sử dụng một trong hai cái, không phải cả hai. Đối với va chạm trực diện, bảo toàn động lượng $m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$ cần các dấu nhất quán; hệ số phục hồi KHÔNG nằm trong M1.

Ví dụ minh họa — xung lượng tác dụng lên cả hai vật (WME01 tháng Sáu 2025 Câu1). P (khối lượng $km$, vận tốc $5u$) bắt Q (khối lượng $3m$, vận tốc $2u$); sau đó P vẫn di chuyển về phía trước với $2u$ và Q với $v$. Xung lượng tác dụng lên Q là $4.5mu$: $3m(v - 2u) = 4.5mu$, do đó $v = 3.5u$. Xung lượng tác dụng lên P có độ lớn bằng nhau và ngược chiều: $km(5u - 2u) = 4.5mu$, do đó $k = 1.5$.

Trên bề mặt thô, lực tiếp xúc phân tách thành lực phản ứng pháp tuyến $R$ (vuông góc) và ma sát $F$ (dọc theo, chống lại chuyển động hoặc xu hướng chuyển động). Chuyển động: $F = \mu R$ với $\mu$ là hệ số ma sát. Trong trạng thái cân bằng $F \le \mu R$, với dấu bằng tại cân bằng giới hạn — cụm từ "sẵn sàng di chuyển" cho phép $F = \mu R$.

Ví dụ minh họa — một kiện hàng trên mặt dốc nhám (WME01 Tháng Sáu 2025 Câu6). Với $\tan\theta = \tfrac34$ và $\mu = \tfrac14$: vuông góc, $R = mg\cos\theta = \tfrac45mg$; dọc theo (lên dương, giảm tốc): $-mg\sin\theta - \tfrac14R = ma$, do đó $a = -g(\tfrac35 + \tfrac15) = -\tfrac45g$ — gia tốc giảm là $\tfrac45g$, và đáp án phải giữ dưới dạng phân số chính xác của $g$. Được giữ đứng yên trên mặt dốc bởi lực $X$ hướng lên dọc theo mặt phẳng (khối lượng 2 kg): $X + \tfrac14(2g\cdot\tfrac45) = 2g\cdot\tfrac35$, nên $X = \tfrac45g = 7.84$ N.

Một chất điểm ở trạng thái cân bằng khi tổng hợp lực bằng không: phân tích theo hai chiều vuông góc và đặt cả hai tổng bằng không, hoặc vẽ tam giác vectơ kín. Trọng lực $mg$ hướng xuống, phản lực pháp tuyến vuông góc với bề mặt, lực căng dọc theo dây hướng ra khỏi vật (lực đẩy dọc theo thanh), lực ma sát dọc theo bề mặt chống trượt. Trên mặt đất nhám đang đứng yên, $F$ là bất kỳ giá trị nào đóng đa giác, bị giới hạn tối đa ở $\mu R$.

Ví dụ có lời giải — các lực cân bằng (bản gốc). Một chất điểm trọng lượng 50 N treo từ hai dây nhẹ tạo với phương thẳng đứng các góc $40°$ và $60°$. Phân tích theo phương ngang: $T_1\sin40° = T_2\sin60°$; theo phương thẳng đứng: $T_1\cos40° + T_2\cos60° = 50$. Từ phương trình đầu tiên, $T_2 = 0.742T_1$; sau đó $T_1(0.766 + 0.371) = 50$, nên $T_1 = 44$ N và $T_2 = 33$ N (2 s.f.).

Mô-men của lực đối với một điểm là lực × khoảng vuông góc, kèm dấu theo chiều. Một vật rắn ở trạng thái cân bằng có mô-men hợp lực bằng không đối với BẤT KỲ điểm nào — vì vậy hãy chọn trục quay để triệt tiêu nhiều ẩn số nhất. "Sắp nghiêng quanh X" nghĩa là phản lực ở nơi khác đã giảm về không và mô-men được tính quanh X.

Ví dụ minh họa — một thanh nằm trên mép (WME01 Tháng Sáu 2025 Câu5). Một thanh không đều AB dài $3a$ nằm trên một mép ngang với mép tại C, $AC = 2a$, tâm khối $d$ cách A. Một lực hướng lên $P$ tại B làm nó nghiêng quanh A: mô-men quanh A cho $3aP = Wd$. Một lực hướng xuống $1.25P$ tại B làm nó nghiêng quanh C: $1.25Pa = W(2a - d)$. Thay thế $P = \tfrac{Wd}{3a}$ (trong đơn vị $a$): $1.25\cdot\tfrac d3 = 2 - d$, nên $1.25d = 6a - 3d$, suy ra $4.25d = 6a$ và $d = \tfrac{24a}{17}$. Bài học rút ra: mỗi trường hợp nghiêng có trục quay riêng, và chỉ có mô-men trọng lực giữ nguyên giá trị giữa các trường hợp đó.

• Nêu các giả thiết mô hình hóa áp dụng (hạt chất, thanh nhẹ, dây không dãn, mặt nhẵn/xốp) và giải thích lợi ích của từng giả thiết.
• Làm việc với vectơ vị trí và vận tốc theo thành phần; chuyển đổi phương hướng sang góc phương vị; tìm vị trí tương đối tại cùng một thời điểm.
• Giải bài toán suvat một pha và đa pha với dấu cố định theo từng pha; đọc hệ số góc và diện tích từ đồ thị chuyển động; vẽ đồ thị vận tốc V đi lên rồi đi xuống.
• Áp dụng $F = ma$ cho mỗi vật dọc theo đường chuyển động; xử lý hệ vật liên kết qua ròng rọc bằng hệ phương trình cặp; tìm lực tác dụng lên ròng rọc là $2T$.
• Sử dụng xung lượng - động lượng cho MỘT vật trong va chạm; bảo toàn động lượng với dấu thống nhất.
• Phân tách lực tiếp xúc thành $R$ và $F$; áp dụng $F = \mu R$ khi vật đang chuyển động hoặc giới hạn; phân tích trên mặt phẳng nghiêng dùng $\sin\theta = 3/5$, $\cos\theta = 4/5$ cho $\tan\theta = 3/4$.
• Đóng đa giác lực để cân bằng theo hai chiều; giới hạn ma sát tĩnh ở $\mu R$.
• Lấy mô-men quanh trục quay loại bỏ ẩn số; chuyển trục quay khi điểm nghiêng thay đổi.