S3 · Statistics 3

Thống kê 3 (S3, đề WST03/01, 1 giờ 30 phút, 75 điểm, kỳ đánh giá đầu tiên tháng 6 2020) là đơn vị thống kê cuối cùng: S1–S2 được coi là đã học. Tập tài liệu bao gồm bảng Chuẩn và bảng chi-bình phương cùng giá trị tới hạn Spearman. Tài liệu tham khảo này bao gồm các tổ hợp của biến chuẩn, phương pháp lấy mẫu, ước lượng và phân phối của trung bình mẫu, khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết cho trung bình (một và hai mẫu), độ phù hợp và bảng giao thoa, cũng như tương quan hạng có kèm theo kiểm định của nó.

Kiến thức bắt buộc cho S3 (không có trong tập tài liệu):

Các biến Normal độc lập kết hợp thành một biến Normal: cộng các trung bình, cộng bình phương hệ số thời phương sai. Với $3S$ khi $S \sim N(18, 0.03^2)$: $3S \sim N(54, 9 \times 0.0009)$ — trung bình gấp ba lần nhưng phương sai nhân lên chín lần. Phép trừ cũng hoạt động tương tự: $C_1 - C_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$, và $P(|C_1 - C_2| > c)$ bằng hai lần xác suất một phía theo tính đối xứng.

Ví dụ minh họa (WST03 Tháng Sáu 2025 Câu8). $S \sim N(18, 0.03^2)$, $C \sim N(25, 0.03^2)$, $P \sim N(15, 0.2^2)$ độc lập (kg). (a) $S_1+S_2+S_3 \sim N(54, 0.0027)$ (độ lệch chuẩn 0.05196): $P(>54.1) = 1 - \Phi(1.924) = 0.0274$. (b) $C_1 - C_2 \sim N(0, 0.0018)$: $P(|C_1-C_2| > 0.02) = 2(1 - \Phi(0.4714)) = 2 \times 0.3192 = 0.638$. (c) Khi có $T = \sum_1^{28} S_i + \sum_1^5 C_i + P_1$, sự kiện $T < 30P_1 + 190$ được sắp xếp lại thành $\sum S_i + \sum C_i - 29P_1 < 190$ — một phân phối Normal với trung bình $504 + 125 - 435 = 194$ và phương sai $28(0.0009) + 5(0.0009) + 29^2(0.04) = 33.6697$, do đó $P = \Phi\left(\tfrac{190-194}{5.803}\right) = 1 - 0.7549 = 0.245$.

Mẫu ngẫu nhiên đơn giản đảm bảo mỗi thành viên (và mỗi mẫu có kích thước $n$) có cơ hội ngang nhau; sử dụng số ngẫu nhiên trên khung lấy mẫu. Lấy mẫu hệ thống lấy mỗi thành viên $x$ từ một điểm khởi đầu ngẫu nhiên — đối với 20 từ 360, $x = 18$; nó hoạt động tốt với danh sách đã sắp xếp và loại bỏ thiên kiến của người chọn, nhưng các thành viên trong cùng một đoạn không bao giờ xuất hiện cùng nhau (khoảng cách bị khóa chặt). tầng và mẫu được chọn tỷ lệ — tốt nhất khi các nhóm khác nhau về bên trong. Lấy mẫu theo quota lấp đầy quota do người phỏng vấn đặt ra mà không có khung lấy mẫu — rẻ tiền nhưng dễ bị thiên kiến từ người phỏng vấn. Nêu một ưu điểm và một nhược điểm của từng phương pháp.

Một thống kê không chứa tham số tổng thể chưa biết. Một ước lượng là không thiên lệch nếu kỳ vọng của nó bằng tham số; độ lệch (bias) là khoảng cách: $\bar X$ cho $\mu$, $s^2 = \dfrac{\sum x_i^2 - n\bar x^2}{n-1}$ cho $\sigma^2$ ($n-1$ là hệ số hiệu chỉnh). Độ lệch có $\mathrm{E}(\hat\theta) - \theta$ về dấu và kích thước. Trung bình mẫu thỏa mãn $\bar X \sim N\left(\mu, \tfrac{\sigma^2}n\right)$: mẫu lớn hơn thu nhỏ sai số chuẩn $\sigma/\sqrt n$.

Ví dụ minh họa (WST03 Tháng Sáu 2025 Câu6). $R = \tfrac12X_1 + \tfrac34X_{20}$: $\mathrm{E}(R) = (\tfrac12 + \tfrac34)\mu = \tfrac54\mu \ne \mu$, nên $R$ bị thiên lệch với độ lệch $\tfrac\mu4$. Cho $S = \tfrac{aX_1 - bX_2}2$ và $T = \tfrac{a\sum_1^{14}X_i + b\sum_{15}^{20}X_i}{20}$ đều không thiên lệch: kỳ vọng bắt buộc $a - b = 2$ và $14a + 6b = 20$, do đó $a = 1.6$, $b = -0.4$.

Ví dụ minh họa — khôi phục tham số (WST03 Tháng Sáu 2025 Câu7). Cho $P(\bar X_n < 45.2) = 0.3446$ và $P(\bar X_n > 75.2) = 0.0179$: các giá trị z là $-0.4$ và $2.1$, do đó $\mu - 0.4\tfrac\sigma{\sqrt n} = 45.2$ và $\mu + 2.1\tfrac\sigma{\sqrt n} = 75.2$. Subtracting: $2.5\tfrac\sigma{\sqrt n} = 30$, giving $\sigma = 12\sqrt n$ (SE 12) và $\mu = 45.2 + 4.8 = 50$; sau đó $P(\bar X_n > 59) = 1 - \Phi(0.75) = 0.2266$.

Một khoảng tin cậy cho $\mu$ (biết phương sai) là $\bar x \pm z\tfrac{\sigma}{\sqrt n}$ với $z = 1.96$ (95%), $1.6449$ (một phía 95% phản đối), $2.5758$ (99%). Giải thích: quy trình này bao gồm $\mu$ trong 95% các mẫu — không phải "xác suất để μ nằm trong khoảng là 0.95". Statistic kiểm định $z = \dfrac{\bar x - \mu}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0, 1)$; khi phương sai chưa biết và $n$ lớn, thay thế bằng $s$ (Định lý Giới hạn Trung tâm cũng cho phép các tổng thể không phân phối chuẩn khi $n$ lớn). Kết luận nêu bằng chứng trong ngữ cảnh.

Ví dụ có hướng dẫn — hai mẫu có độ lệch (WST03 Tháng Sáu 2025 Câu4). Sóc xám ($n = 80$, $\bar x = 500$, $s_x^2 = 1156$) và sóc đỏ ($n = 80$; $\sum y = 23200$, $\sum y^2 = 6741351$, cho $\bar y = 290$ và $s_y^2 = \tfrac{6741351 - 80(290)^2}{79} = 169$). Test $\text{H}_0\colon \mu_x - \mu_y = 200$ against $> 200$ tại 5%:

nên bác bỏ H₀ — trung bình sóc xám cao hơn sóc đỏ ít nhất 200 g. Giả thiết thay thế phương sai ($\sigma^2 = s^2$ cho mỗi tổng thể) là cơ sở hợp lệ của công thức này.

Kiểm định phù hợp so sánh tần số quan sát với tần số kỳ vọng từ mô hình: $X^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E}$. Bậc tự do = (số ô − 1) − (tham số ước lượng từ dữ liệu): một biến nhị thức với p̂ ước tính sẽ mất thêm một bậc. Gộp các ô đuôi mà tần số kỳ vọng thấp hơn 5 trước tiên. Bảng tương quan kiểm tra mối liên hệ giữa hai loại phân loại với $E = \frac{\text{row} \times \text{column}}{\text{total}}$ và $\mathrm{df} = (r-1)(c-1)$.

Ví dụ có hướng dẫn — phù hợp nhị thức (WST03 Tháng Sáu 2025 Câu5). Đực trong 250 tổ đẻ 5 ($O = 2, 40, 90, 85, 30, 3$): $\hat p = \tfrac{610}{1250} = 0.488$, cho kết quả kỳ vọng tần số $8.80, 41.92, 79.91, 76.16, 36.30, 6.92$. Lớp $r$ đóng góp $\tfrac{(2-8.796)^2}{8.796} = 5.25$, do đó với các giá trị $\sum = 5.70$ còn lại, $X^2 = 10.95$ trên bậc tự do $6 - 1 - 1 = 4$; giá trị tới hạn 9.488 ở mức 5% đã bị vượt qua — bác bỏ: mô hình nhị thức không phù hợp.

Ví dụ có lời giải — mối tương quan (WST03 tháng 6 2025 câu hỏi3). Loại động cơ × thời điểm bắt đầu bài toán thời gian (250 xe, 3×3): ô diesel/tháng 1–6 có $E = \tfrac{35\times36}{250} = 5.04$ and contributes $\tfrac{(10-5.04)^2}{5.04} = 4.88$; với 7.444 cho tám ô còn lại $X^2 = 12.325 > 9.488$ trên 4 bậc tự do — bằng chứng về mối liên hệ giữa loại động cơ và thời điểm bắt đầu bài toán.

Hệ số tương quan thứ hạng Spearman đo lường sự đồng nhất đơn điệu giữa hai thứ hạng; kiểm tra $\text{H}_0\colon\rho = 0$ so với bảng và kết luận bằng lời nói về các thứ hạng.

Hệ số tương quan thứ hạng Spearman $r_s = 1 - \tfrac{6\sum d^2}{n(n^2-1)}$ đo lường sự đồng nhất đơn điệu giữa hai thứ hạng (không xét trường hợp bằng nhau). Kiểm tra $\text{H}_0\colon \rho = 0$ so với giả thuyết một hoặc hai phía sử dụng bảng giá trị tới hạn; kết luận trong ngữ cảnh ("chưa đủ bằng chứng về sự đồng thuận tích cực giữa các thẩm phán").

Ví dụ có lời giải (WST03 tháng 6 2025 Q2). Hai giám khảo xếp hạng 10 bài biểu diễn: thứ hạng differences give $\sum d^2 = 66$, so $r_s = 1 - \tfrac{6(66)}{990} = 0.6$. At the 1% mức một phía, giá trị tới hạn là 0.7455: $0.6 < 0.7455$, nên không bác bỏ H₀ — thiếu bằng chứng về tương quan dương giữa thứ hạng của các giám khảo.

• Kết hợp các biến chuẩn độc lập (bình phương hệ số trên phương sai); xử lý hiệu số và |hiệu số| bằng đối xứng.
• Sử dụng SE σ/√n; tìm lại (μ, σ) từ xác suất hai trung bình mẫu; tính xác suất cho X̄.
• Xây dựng và diễn giải khoảng tin cậy dựa trên z; thực hiện kiểm định một mẫu và hai mẫu với thay thế phương sai và phát biểu CLT.
• Sử dụng SE σ/√n; khôi phục (μ, σ) từ hai xác suất trung bình mẫu; tính xác suất cho X̄.
• Tính rₛ Spearman từ các rank và kiểm định đối với bảng giá trị với giả thuyết được viết dưới dạng ký hiệu và kết luận bằng lời.
• Tính tần số kỳ vọng (mô hình hoặc bảng giao thoa), gộp các ô thấp, trừ các tham số ước lượng khỏi bậc tự do, so sánh với bảng χ².
• Tính rₛ Spearman từ các thứ hạng và kiểm tra đối với bảng giá trị, nêu giả thuyết bằng ký hiệu và kết luận bằng lời.