S1 · Statistics 1

Thống kê 1 (S1, bài WST01/01, 1 giờ 30 phút, 75 điểm, kỳ thi đầu tiên tháng Sáu 2019) là bộ môn thống kê đi kèm M1 trong Toán Quốc tế AS; P1 và P2 được giả định. Các sách công thức bao gồm bảng số liệu thống kê; các công thức bên dưới bạn cần thuộc lòng. Tài liệu tham khảo này bao gồm biểu diễn và tóm tắt dữ liệu, xác suất, tương quan và hồi quy, biến ngẫu nhiên rời rạc và phân phối chuẩn.

Kiến thức bắt buộc cho S1 (không có trong sách công thức):

Một mô hình thống kê là mô tả đơn giản hóa của một tình huống thực tế dùng để biểu diễn, phân tích và dự đoán. Lý do sử dụng: nó nhanh hơn và rẻ hơn thí nghiệm thực tế, có thể lặp lại và tinh chỉnh, đồng thời làm rõ các mối quan hệ. Hãy nhớ các lý do tiêu chuẩn — chỉ nói "để đưa ra dự đoán" là chưa đủ để lấy điểm.

Trong biểu đồ tần số (histogram), DIỆN TÍCH là tần số: chiều cao cột là mật độ tần số $\dfrac{\text{frequency}}{\text{class width}}$, do đó các lớp không bằng nhau sẽ có độ rộng khác nhau, và so sánh các cột là so sánh mật độ. Biểu đồ thân lá giữ nguyên các giá trị gốc (so sánh hai nhóm). Biểu đồ hộp thể hiện giá trị nhỏ nhất, tứ phân vị dưới, trung vị, tứ phân vị trên, giá trị lớn nhất, với các giá trị ngoại lai được đánh dấu bằng dấu X riêng biệt theo bất kỳ qui tắc nào mà đề bài nêu.

Ví dụ giải mẫu — chiều cao biểu đồ tần số theo tỷ lệ (WST01 Tháng Sáu 2025 Câu5a). Tốc độ của 225 xe ô tô trong các lớp có độ rộng 5, 5, 10, 15, 15 với tần số 54, 90, 60, 15, 6: các mật độ là 10.8, 18, 6, 1, 0.4. Cột cao nhất (25–30, mật độ 18) được vẽ cao 10 cm, vì vậy cột cao thứ hai (20–25, mật độ 10.8) đo được $\tfrac{10.8}{18}\times 10 = 6$ cm. Lưu ý: cột 30–40 CŨNG CÓ mật độ 6 — chỉ lập luận tỷ lệ mới được điểm, không phải "60 ÷ 10".

Đối với dữ liệu phân nhóm, ước tính trung vị hoặc tứ phân vị bằng nội suy tuyến tính bên trong lớp chứa: $Q_2 = a + w\times\dfrac{\tfrac n2 - F}{f}$. Phạm vi tứ phân vị là $Q_3 - Q_1$; phương sai là $\sigma^2 = \dfrac{\sum x^2}n - \bar x^2$ (hoặc $\dfrac{\sum fx^2}{\sum f} - \bar x^2$). Kết hợp các nhóm: tổng $\sum x = \sum n_i\bar x_i$, tổng $\sum x^2$ cộng trực tiếp, sau đó áp dụng lại công thức. Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Mã hóa đảo ngược: nếu $w = 11.5d$, thì $S_{td} = \dfrac{S_{tw}}{11.5}$ và $S_{dd} = \dfrac{S_{ww}}{11.5^2}$.

Ví dụ minh họa — kết hợp hai lớp (WST01 Tháng 6 2025 Câu2). Lớp A: $n = 24$, $\bar x = 47$, $\sum x^2 = 66876$; lớp B: $n = 30$, $\bar x = b$, $\sum x^2 = 73826$; 54 học sinh kết hợp là 45. Khi đó $\sum x = 54(45) = 2430$, nên $\sum x_B = 2430 - 24(47) = 1302$ và $b = 43.4$. Độ lệch chuẩn kết hợp: $\sigma = \sqrt{\tfrac{66876 + 73826}{54} - 45^2} = \sqrt{580.59\ldots} = 24.1$. Nếu mỗi điểm của B tăng thêm 2: phương sai của B không đổi (dịch chuyển không thay đổi độ phân tán), trung bình cộng tăng, và độ lệch chuẩn kết hợp giảm — B giờ nằm gần A hơn, nên cả nhóm ít phân tán hơn.

Ví dụ minh họa — nội suy tứ phân vị (WST01 Tháng 6 2025 Câu5c–d). Với tần số tích lũy 54, 144, 204, 219, 225: trung vị là giá trị thứ 112.5, nằm trong khoảng 25–30: $Q_2 = 25 + 5\times\tfrac{112.5-54}{90} = 28.25$. $Q_3$ là giá trị thứ 168.75, nằm trong khoảng 30–40: $Q_3 = 30 + 10\times\tfrac{168.75-144}{60} = 34.125$, nên với $Q_1 = 25.14$ đã cho, $IQR = 8.985$.

So sánh khoảng cách: $(Q_3 - Q_2)$ so với $(Q_2 - Q_1)$, hoặc trung bình cộng so với trung vị. Ở trên, $5.875 > 3.11$ (và trung bình cộng $30.6 >$ > trung vị $28.25$), nên tốc độ bê lệch dương (bê lệch phải) — cũng vì vậy mô hình Chuẩn sẽ bị bác bỏ.

Hãy bắt đầu từ không gian mẫu: liệt kê các kết quả tốt hơn việc nhớ công thức. Đối với bất kỳ hai biến cố nào, $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ và $P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A)$; độc lập có nghĩa là $P(B\mid A) = P(B)$, áp dụng quy tắc tích. Xác suất có điều kiện đảo ngược cây xác suất: $P(B\mid A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$. Không hoàn lại, các phân số ở tầng thứ hai giảm đi một cả tử số và mẫu số.

Ví dụ minh họa — Venn sang xác suất có điều kiện (WST01 tháng Sáu 2025 Câu4). $P(C\cup D) = 0.59$, $P(D) = 0.45$, $P(C\mid D) = 0.2$. Sau đó $P(C\cap D) = 0.2 \times 0.45 = 0.09$ và $P(C) = 0.59 + 0.09 - 0.45 = 0.23$ — điền vào sơ đồ Venn và cả hai đáp án sẽ tự hiện ra.

Ví dụ minh họa — sơ đồ cây có đảo ngược (WST01 tháng 6 2025 câu 7). Túi: 3 viên trắng, 6 viên vàng; hai viên được chọn không hoàn lại. Sơ đồ cây: $\tfrac69, \tfrac39$, sau đó $\tfrac58, \tfrac38$ sau khi lấy vàng và $\tfrac68, \tfrac28$ sau khi lấy trắng. Chính xác một viên vàng: $\tfrac69\cdot\tfrac38 + \tfrac39\cdot\tfrac68 = \tfrac12$. Ít nhất một viên trắng: $1 - \tfrac69\cdot\tfrac58 = \tfrac7{12}$. Biết ít nhất một viên trắng, cả hai đều trắng: $\dfrac{\tfrac39\cdot\tfrac28}{\tfrac7{12}} = \dfrac1{12}\cdot\dfrac{12}7 = \dfrac17$.

Hệ số tương quan tích moment $r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$ đo lường MỐI TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH ($-1 \le r \le 1$); diễn giải trong ngữ cảnh. Đường hồi quy bình phương tối thiểu đường hồi quy của $y$ theo $x$ là $y = a + bx$ với $b = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$ và $a = \bar y - b\bar x$ — chỉ dùng được để dự đoán $y$ TỪ $x$, và chỉ trong phạm vi dữ liệu (ngoại suy là nguy cơ cần cảnh báo). Đổi $x$ và $y$ thì đường thẳng khác đi.

Ví dụ minh họa — hồi quy mã hóa (WST01 tháng 6 2025 câu 3). Với $w = 11.5d$, $S_{tt} = 26.43$, $S_{tw} = -91.55$, $\sum w = 339.25$, $\sum t = 9.1$, $\sum w^2 = 10036.45$ trên 12 ngày: $S_{ww} = 10036.45 - \tfrac{339.25^2}{12} = 445.57$; hệ số pmcc $r = \dfrac{-91.55}{\sqrt{26.43 \times 445.57}} = -0.844$ — ngày càng nóng, khí gas giảm. Đường hồi quy của $w$ theo $t$: $b = \tfrac{-91.55}{26.43} = -3.46$, $a = \tfrac{339.25}{12} - (-3.46)\tfrac{9.1}{12} = 30.9$, chia cho $w = -3.46t + 30.9$; lấy kết quả qua 11.5 để có $d$ trên $t$: $d = -0.301t + 2.69$. Tại $t = 2$: $d = 2.09$ m³, và mỗi độ tăng thêm nghĩa là khoảng $0.3$ m³ khí gas ít hơn.

Một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị cách biệt với xác suất $p(x) = P(X = x)$ cộng lại bằng 1; bảng hàm xác suất của nó là đối tượng nghiên cứu. Kỳ vọng $E(X) = \sum xp(x)$, $E(X^2) = \sum x^2p(x)$, độ lệch chuẩn $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. Hàm phân bố tích lũy $F(x_0) = P(X \le x_0)$ cộng dồn xác suất đến $x_0$. Phân phối RỜI RẠC ĐỀU trên $1, \dots, n$ có $E(X) = \tfrac{n+1}2$ và $\mathrm{Var}(X) = \tfrac{n^2-1}{12}$.

Ví dụ minh họa — quy trình đầy đủ (WST01 tháng Sáu 2025 Câu 1). X với các xác suất 0.3, 0.2, 0.35, 0.15 trên 1–4. $F(3.5) = 0.3+0.2+0.35 = 0.85$. Bất đẳng thức $3X - 3 < X + 2$ giải ra được $X < 2.5$, do đó $P = 0.5$ — hãy giải tìm $X$ TRƯỚC, sau đó cộng. $E(X) = 2.35$, $E(X^2) = 6.65$, $\mathrm{Var}(X) = 6.65 - 2.35^2 = 1.1275$; và $\mathrm{Var}(5-2X) = 4(1.1275) = 4.51$ theo quy tắc mã hóa.

Đối với phân phối Chuẩn $X\sim N(\mu, \sigma^2)$, chuẩn hóa: $Z = \dfrac{X-\mu}\sigma$ rồi tra bảng. Tính đối xứng làm một nửa công việc: $P(X > \mu + 2\sigma) = P(Z > 2) = 0.0228$ và $P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) = 1 - 2(0.0228) = 0.9544$. Bài toán ngược đưa ra $z$ từ bảng, sau đó tính $x = \mu + z\sigma$; hai điều kiện trên cùng một $k$ tạo thành hệ phương trình đồng thời.

Ví dụ minh họa — bao bột mì (WST01 tháng Sáu 2025 Q6). Bao nhỏ $X\sim N(502, 3^2)$: $P(X > 508) = P(Z > 2) = 0.0228$. Trong số 4 bao, đúng 2 cái nặng hơn 508: $6(0.0228)^2(0.9772)^2 = 0.00298$. Bao lớn $Y\sim N(1024, \sigma^2)$ với percentile thứ 85 1038.51: $z_{0.85} = 1.0364$, do đó $\sigma = \tfrac{14.51}{1.0364} = 14$. Nếu $P(X > k) = P(Y < 2k)$, thì $\tfrac{k-502}3 = \tfrac{1024-2k}{14}$, do đó $14k - 7028 = 3072 - 6k$, $k = 505$, và $p = P(Z > 1) = 0.159$.

• Đưa ra nhiều lý do tại sao các mô hình thống kê được sử dụng; giữ nguyên cụm "cheap and quick" cùng thêm một lý do nữa.
• Tính mật độ tần suất cho các lớp không đồng đều; so sánh các cột biểu đồ tần suất theo tỷ lệ; nội suy phân vị trong lớp chứa chúng; đánh dấu giá trị ngoại lai theo quy tắc đã cho.
• Kết hợp các tập dữ liệu thông qua $\sum x$ và $\sum x^2$; đảo mã hóa trên thống kê $S$; dự đoán tác động của việc dịch chuyển hoặc thay đổi tỷ lệ lên trung bình, phương sai và SD.
• Giải các bài toán xác suất từ sơ đồ Venn và cây, có và không hoàn lại; đảo ngược điều kiện bằng $P(A\cap B)/P(A)$.
• Tính $r$ từ thống kê $S$ và giải thích ý nghĩa của nó; fit $y = a + bx$; chỉ dự đoán trong phạm vi; chuyển dữ liệu đã mã hóa trở lại biến gốc.
• Chạy thủ tục DRV rời rạc: tổng xác suất bằng 1, giải bất phương trình cho $X$ trước, sau đó $E(X)$, $E(X^2)$, phương sai, mã hóa tuyến tính; trích dẫn các kết quả phân phối đều.
• Chuẩn hóa theo cả hai hướng cho các câu hỏi về phân phối chuẩn; sử dụng tính đối xứng; hoàn thành các bài toán hai điều kiện bằng hệ phương trình đồng thời.