M3 · Mechanics 3

Cơ học 3: dây đàn hồi, dao động điều hòa, đường tròn và trọng tâm

Cơ học 3 (M3, đề WME03/01, 1 giờ 30 phút, 75 điểm, lần kiểm tra đầu tiên tháng Sáu 2020) là đơn vị cơ học cuối cùng: P1–P4, M1 và M2 được giả định trước. Toàn bộ đề làm biểu thức — đáp án giữ nguyên ở $m$, $g$, $a$, $L$, $r$, và đại số chính xác là điểm số. Tài liệu tham khảo này bao gồm gia tốc như một hàm của $x$, lò xo đàn hồi và lò xo, lực biến đổi và dao động điều hòa, chuyển động tròn ngang và dọc, và trọng tâm bằng tích phân.

Kiến thức bắt buộc cho M3 (không có trong tài liệu):

Động học với gia tốc là hàm của x

Khi gia tốc phụ thuộc vào độ dịch chuyển, thay $\tfrac{dv}{dt}$ bằng $v\dfrac{dv}{dx}$ và tích phân theo $x$; khi nó phụ thuộc thời gian, tách $\tfrac{dx}{dt}$. Điều kiện ban đầu xác định mỗi hằng số — nêu rõ trước thay thế.

Ví dụ có lời giải (WME03 Tháng Sáu 2025 Q3). Với $a = 4x - 2$ và tại $t = 1$, $x = 0$, $v = 1$: (a) $v\tfrac{dv}{dx} = 4x - 2$ cho $\tfrac12v^2 = 2x^2 - 2x + \tfrac12$, do đó $v^2 = (2x-1)^2$ và (chiều dương) $v = 1 - 2x$. (b) Thay $v = 1 - 2x$ vào $a = \tfrac{dv}{dt}$ thu được $\tfrac{dv}{dt} = -2v$ (hoặc tách $\tfrac{dx}{dt} = 1 - 2x$): $\ln v = -2t + C$ với $v(1) = 1$ cho $v = e^{2-2t}$.

Dây đàn hồi và lò xo

Định luật Hooke: dây đàn hồi nhẹ (hoặc lò xo) có chiều dài tự nhiên $L$ và mô đun đàn hồi $\lambda$ bị kéo giãn $e$ tạo ra lực căng $T = \tfrac{\lambda e}{L}$ — lực căng kéo vào trong ở cả hai đầu. Năng lượng đàn hồi được lưu trữ là $\tfrac{\lambda e^2}{2L}$. Nguyên lý công – năng lượng giờ bao gồm ba kho năng lượng: động năng, lực hấp dẫn và lực đàn hồi, cộng với mọi công thực hiện chống lại lực cản.

Ví dụ minh họa — điểm giữa trên dây hai phần (WME03 Tháng 6 2025 Câu4). Một sợi dây có $\lambda = mg$, chiều dài tự nhiên $3a$, gắn cố định giữa A và B ($AB = 4a$ nằm ngang); P treo từ điểm giữa, được phóng xuống từ C (điểm giữa của AB) ở độ cao $\sqrt{3ag/2}$, và đến D ở độ cao $CD = \tfrac32a$. Mỗi nửa của dây có chiều dài tự nhiên $\tfrac{3a}2$: tại C, nửa chiều dài là $2a$ (độ dãn $\tfrac a2$); tại D nó là $\sqrt{(2a)^2 + (\tfrac32a)^2} = \tfrac{5a}2$ (độ dãn $a$). Độ tăng năng lượng đàn hồi mỗi nửa: $\dfrac{mg}{2\cdot\frac{3a}2}\big(a^2 - \tfrac{a^2}4\big) = \dfrac{mg}{3a}\cdot\tfrac{3a^2}4 = \tfrac{mga}4$; cả hai nửa: $\tfrac12mga$ ✓. Sau đó với lực cản $\tfrac15mg$ trong khoảng cách $\tfrac{3a}2$ và sự giảm năng lượng trọng trường $mg\cdot\tfrac{3a}2$:

nên $V = \sqrt{29ag/10}$.

Ví dụ minh họa — thanh bản lề (WME03 Tháng 6 2025 Câu1). Một thanh đều AB (khối lượng $m$, chiều dài $2a$) gắn bản lề tại A; một sợi dây đàn hồi ($\lambda = 2mg$, chiều dài tự nhiên $L$) chạy thẳng đứng từ B đến C, nơi AC nằm ngang và BC $= 1.2a$ — hình học đặt B ở $1.6a$ theo phương ngang so với A và thấp hơn $1.2a$ (tam giác 3–4–5), nên điểm giữa của thanh cách đường thẳng đứng qua A một đoạn $0.8a$. Mô-men đối với A: $T\cdot 1.6a = mg\cdot 0.8a$, do đó $T = \tfrac12mg$; sau đó định luật Hooke cho $\tfrac12mg = \tfrac{2mg}{L}(1.2a - L)$, tức là $L = 0.96a = \tfrac{24}{25}a$.

Lực biến đổi và chuyển động điều hòa đơn giản

Với lực biến đổi $F(x)$ trong một chiều: $m\dfrac{dv}{dt} = F$ trở thành $mv\dfrac{dv}{dx} = F(x)$; lực hấp dẫn bình phương nghịch xuất hiện dưới dạng $F = \dfrac{k}{x^2}$. Chuyển động điều hòa đơn giản (SHM) nghĩa là $\ddot x = -\omega^2x$ — dấu âm chính là bằng chứng. Kết quả tiêu chuẩn (có thể trích dẫn): chu kỳ $\tfrac{2\pi}{\omega}$, $v^2 = \omega^2(a^2 - x^2)$, $x = a\cos\omega t$ từ một đầu, $a\sin\omega t$ từ tâm. Một hạt nằm giữa hai dây đàn hồi dao động điều hòa (SHM) bất cứ khi nào lực hợp tỷ lệ với độ lệch so với vị trí cân bằng.

Ví dụ minh họa — SHM giữa hai dây (WME03 tháng 6 2025 câu hỏi7). Dây từ P đến A ($\lambda = mg$, chiều dài tự nhiên $3L$) và đến B ($\lambda = 2mg$, chiều dài tự nhiên $2L$), $AB = 7L$; vị trí cân bằng tại E với $AE = 4.5L$ (mỗi lực căng $= \tfrac{mg}2$ — kiểm tra để đảm bảo E là vị trí cân bằng thực sự). Khi dịch chuyển $x$ từ E về phía B, dây B bị thu ngắn và dây A kéo dài ra:

do đó P dao động điều hòa, $\omega^2 = \tfrac{4g}{3L}$ và chu kỳ là $\tfrac{2\pi}{\omega} = \pi\sqrt{\tfrac{3L}g}$. Giải phóng từ C với $AC = 5L$ có biên độ $\tfrac L2$: $v_{max} = \tfrac L2\omega = \sqrt{\tfrac{gL}3}$. Thời gian di chuyển $|v| \le \sqrt{\tfrac{gL}{12}} = \tfrac{v_{max}}2$: với $x = \tfrac L2\cos\omega t$ từ đầu cuối, $v \propto \sin\omega t$ và $|\sin\omega t| \le \tfrac12$ giữ trong một phần ba mỗi chu kỳ dao động, nên thời gian chậm là $\tfrac13 \times \pi\sqrt{\tfrac{3L}g} = \pi\sqrt{\tfrac{L}{3g}}$.

Chuyển động trong vòng tròn ngang

Tốc độ góc $\omega$ (rad s⁻¹) với $v = r\omega$; gia tốc hướng tâm là $r\omega^2 = \tfrac{v^2}r$, hướng về phía tâm. Phân tích về phía tâm để phương trình lực và theo phương thẳng đứng để tìm cân bằng — đây là con lắc hình nón, một hạt trên bàn buộc bằng dây, và bề mặt nghiêng là ba ngữ cảnh tiêu chuẩn.

Ví dụ minh họa — chuyển động tròn trên bàn (WME03 tháng 6 2025 câu hỏi2). P (khối lượng $m$) trên mặt bàn nhẵn bàn, gắn vào O ở phía trên bằng một sợi dây dài $a$ tạo góc 30° với mặt bàn, chuyển động trong mỗi vòng tròn có $\omega = \sqrt{\tfrac{g}{2a}}$. Bán kính của vòng tròn là $a\cos30°$. Hướng về tâm: $T\cos30° = m(a\cos30°)\omega^2 = ma\cos30°\cdot\tfrac{g}{2a}$, do đó $T = \tfrac{mg}2$. Theo phương đứng: $R = mg - T\sin30° = mg - \tfrac{mg}4 = \tfrac{3mg}4$.

Chuyển động trong vòng tròn thẳng đứng

Vòng tròn thẳng đứng kết hợp năng lượng với định luật Newton hướng về tâm. Sự thay đổi động năng bằng sự giảm thế năng hấp dẫn và thế năng đàn hồi khi không có quá trình truyền năng lượng nào khác. Phương trình năng lượng này kết hợp với định luật Newton hướng về tâm; điều kiện rời khỏi bề mặt là $R = 0$, trên một sợi dây là $T = 0$. Sau khi rời khỏi, vật thể trở thành vật bị ném: thành phần ngang của vận tốc được bảo toàn.

Ví dụ có lời giải — rời khỏi quả cầu (WME03 Tháng Sáu 2025 Q5). P được thả tại A trên một mặt trơn (bán kính $r$), OA nằm ở $\alpha$ so với phương thẳng đứng; nó rời khỏi tại B, OB nằm ở $\alpha$ so với phương ngang. (a) Năng lượng A→B: độ cao của A so với O là $r\cos\alpha$ và độ cao của B so với O là $r\sin\alpha$, nên P rơi $r(\cos\alpha - \sin\alpha)$: $\tfrac12mv^2 = mgr(\cos\alpha - \sin\alpha)$, cho $v^2 = 2gr(\cos\alpha - \sin\alpha)$. (b) Tại B với $R = 0$: $mg\sin\alpha = \tfrac{mv^2}r$ \sin\alpha)$v^2$\tan\alpha = \tfrac2$. (c) Sau đó, thành phần ngang \sin\alpha)$, so $\tan\alpha = \tfrac23$. (c) Sau đó thành phần nằm ngang $v\sin\alpha$, và $\tfrac12mW^2 = mgr\cos\alpha$, và $\cos^2\theta = \dfrac{v^2\sin^2\alpha}{W^2} = \dfrac{8}{78} = \dfrac4{39}$ — r $\cos\theta = \tfrac2{\sqrt{39}}$.

Trọng tâm bằng tích phân

Đối với một thể quay đều, $\bar x = \dfrac{\int_0^a xy^2\,dx}{\int_0^a y^2\,dx}$ (trọng lượng các đĩa mỏng là $\pi y^2\,dx$). Kết quả của bán cầu cần được suy ra, không chỉ trích dẫn: với $y^2 = a^2 - x^2$, $\int_0^a x(a^2 - x^2)dx = \tfrac{a^4}4$ và $\int_0^a (a^2 - x^2)dx = \tfrac{2a^3}3$, cho $\bar x = \tfrac{3a}8$ từ mặt phẳng. Vật thể tổ hợp: cân nặng các phần tử theo khối lượng (bán kính lập phương đối với các vật thể tương tự) và tính mô men; các phần bị loại bỏ mang khối lượng âm. Cân bằng của vật nghiêng: trọng tâm nằm thẳng đứng phía trên điểm tiếp xúc.

Ví dụ giải — bán cầu được khoét (WME03 tháng 2025 Q6). S là một khối bán cầu (bán kính $a$) với một bán cầu bán kính-$\tfrac a2$ bị loại bỏ, các mặt phẳng cùng mặt phẳng, tâm $O$ (lớn) và $C$ với $OC = \tfrac a2$. Khối lượng $8 : 1 : 7$ (bán kính lập phương); dọc theo trục $8\cdot\tfrac{3a}8 - 1\cdot\tfrac{3a}{16} = 7\bar y$, do đó trọng tâm của S là $\tfrac{45a}{112}$ từ đường thẳng OC qua O. Vuông góc với OC (mô-men đối với trục trong mặt phẳng qua O): $8\cdot 0 - 1\cdot\tfrac a2 = 7\bar x$, nên $\bar x = \tfrac{a}{14}$. Nằm nghiêng dựa vào bề mặt cong của nó, $\tan\theta = \dfrac{a/14}{45a/112} = \tfrac8{45}$.

Danh sách kiểm tra trước khi hoàn thành đơn vị này

• Chuyển đổi $a = f(x)$ thông qua $v\,dv/dx$ và xác định các hằng số ban đầu từ một thời điểm cho trước; hoàn thành phép tích phân thứ hai bằng phương pháp tách biến hoặc loại bỏ $x$.
• Sử dụng $T = \lambda e/L$ và năng lượng đàn hồi $\lambda e^2/2L$; đối với dây ở giữa, xử lý mỗi nửa riêng biệt; áp dụng định lý động năng ba tầng với lực cản trên quãng đường.
• Kết hợp mô-men với định luật Hooke cho thanh có bản lề cân bằng (trước hết là hình học: độ lệch ngang/dọc của các điểm gắn).
• Chứng minh dao động điều hòa bằng cách suy ra $\ddot x = -\omega^2 x$ (xác định lực căng cân bằng trước), sau đó nêu chu kỳ, $v_{max} = a\omega$ và các phân số thời gian hình sin.
• Hướng về tâm ($r\omega^2$) và theo phương đứng đối với chuyển động tròn nằm ngang — phản lực mặt bàn, con lắc hình nón, bề mặt nghiêng.
• Đối với chuyển động tròn thẳng đứng: năng lượng giữa các mức độ, $R = 0$ (hoặc $T = 0$) tại điểm rời khỏi, chuyển động ném tiếp diễn bảo toàn thành phần ngang.
• Suy ra trọng tâm bán cầu bằng tích phân đĩa; xây dựng vật tổng hợp với khối lượng có dấu; cân bằng nghiêng đóng lại với điều kiện trọng tâm nằm trên điểm tiếp xúc.