M2 · Mechanics 2

Cơ học 2 (M2, đề WME02/01, 1 giờ 30 phút, 75 điểm, bài kiểm tra đầu tiên tháng Sáu 2020) là đơn vị áp dụng IAL kế thừa từ M1: P1–P4 và M1 được giả định. Sử dụng $g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ trừ khi mô hình của câu hỏi quy định khác (một câu hỏi tháng Sáu 2025 sử dụng 10). Tài liệu tham khảo này bao gồm động học gia tốc thay đổi, tâm khối lượng, công, năng lượng và công suất, va chạm với hệ số hồi phục, và cân bằng vật cứng.

Kiến thức bắt buộc cho M2 (không có trong sổ tay):

Khi gia tốc là hàm của thời gian, tích phân: $v = \int a\,dt$ và $s = \int v\,dt$, với các hằng số được xác định bởi điều kiện ban đầu ("bắt đầu đứng yên tại O" triệt tiêu cả hai). Đối với QUÃNG ĐƯỜNG TOTAL khi hạt quay ngược lại, tìm thời gian dừng ($v = 0$) và cộng cả hai giai đoạn. Vị trí vector vị trí đạo hàm từng thành phần: $\mathbf v = \tfrac{d\mathbf r}{dt}$, $\mathbf a = \tfrac{d\mathbf v}{dt}$.

02 xuất phát từ trạng thái nghỉ tại O và 2025: 1 (hằng số bằng không $a = k(3 - t^2)$ xuất phát từ O và $v(1.5) = 13.5$: $v = k(3t - \tfrac{t^3}3)$ (không đổi bằng không (do rest), và $k(4.5 - 1.125) = 3.375k = 13.5$ cho $k = 4$. Khi đó $s = 6t^2 - \tfrac{t^4}3 = \tfrac{t^2}3(18 - t^2)$. Đối với tổng quãng đường trở lại O: $v = \tfrac{4t}3(9 - t^2) = 0$ tại $t = 3$, $s(3) = 27$, nên hạt di chuyển $27 + 27 = 54$ m — đoạn đường về là một phép cộng 27, không phải phép trừ.

Ví dụ minh họa — vận tốc vector rồi xung lượng (WME02 Tháng 6 2025 Câu2). Với $\mathbf r = 4\sqrt t\,\mathbf i - 3t\mathbf j$ (mét, $t$ giây), khối lượng 3 kg: $\mathbf v = \tfrac{d\mathbf r}{dt} = 2t^{-1/2}\mathbf i - 3\mathbf j$, do đó tại thời điểm $t = 4$ thì vận tốc là $\mathbf i - 3\mathbf j$. Một xung lực $(6\mathbf i - 3\mathbf j)$ N s tạo ra $3(\mathbf v' - (\mathbf i - 3\mathbf j)) = (6\mathbf i - 3\mathbf j)$, do đó $\mathbf v' = 3\mathbf i - 4\mathbf j$ và tốc độ trở thành $5\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ — hãy lấy đạo hàm TRƯỚC, sau đó áp dụng xung lượng tại thời điểm đã cho ở giây thứ hai.

Đối với chất điểm: trọng tâm là $\bar x = \dfrac{\sum mx}{\sum m}$. Đối với vật thể đồng nhất, sử dụng phương pháp bảng — chia nhỏ thành các phần có trọng tâm bạn đã biết (sách hướng dẫn: dây bán tròn $\tfrac{2r}\pi$, bản mỏng bán tròn $\tfrac{4r}{3\pi}$, hình quạt, cung tròn), nhân trọng lượng của mỗi phần với KHỐI LƯỢNG (bản mỏng: diện tích; dây: chiều dài), và tính mô-men lực đối với một đường thích hợp. Các phần nằm ở hai phía khác nhau của đường sẽ mang dấu ngược nhau. Tấm composite trừ các lỗ hổng dưới dạng diện tích âm.

Ví dụ minh họa — một khung dây hình S (WME02 Tháng 6 2025 Câu3). Hai cung tròn bán đường kính AB bán kính $2a$ và CD bán kính $a$, cùng tâm tại O nằm ở hai phía khác nhau của đường dây thẳng ACDB ($AC = DB = a$). Bảng (đối với đường AB):

Tổng chiều dài $(3\pi + 2)a$; mô men $6a^2$; vậy trọng tâm nằm ở $\dfrac{6a}{3\pi + 2}$ từ AB. Treo từ A với E nằm trên cung sao cho $\angle AOE = 90°$: đường đối xứng OE đi qua G, nên $\tan\angle OAG = \dfrac{3}{3\pi+2}$, và do $OA = OE$ tạo với $\angle OAE = 45°$, góc $\theta$ của AE so với phương đứng thỏa $\theta = 45° - \angle OAG$, dẫn đến $\tan\theta = \dfrac{3\pi - 1}{3\pi + 5}$.

Một vật treo tự do sẽ có trọng tâm nằm trực tiếp dưới điểm treo. Góc cần tìm thường là giữa dây nối bất kỳ của vật và phương đứng: tìm góc tại điểm treo bằng lượng giác vuông với khoảng cách từ CM, sau đó điều chỉnh theo các góc hình học (tam giác cân là nguồn tiêu chuẩn của 45°, 60°).

Công của lực không đổi: $Fs$ dọc theo chuyển động (âm nếu ngược lại); trọng lực thực hiện $\pm mgh$. Nguyên lý công-động năng: tổng công = độ biến thiên KE. Bảo toàn cơ năng: năng lượng được bảo toàn khi chỉ có trọng lực thực hiện công; lực cản xuất hiện dưới dạng công $-Rs$. công suất $P = Fv$: ở tốc độ không đổi, lực đẩy cân bằng lực cản cộng thành phần trọng lực, nên $v = \tfrac PF$; ở một vận tốc xác định, lực dư sẽ gây gia tốc.

Ví dụ minh họa — ô tô trên dốc (WME02 tháng 2025 Q4). Một chiếc xe 750 kg leo dốc có $\sin\alpha = \tfrac17$, lực cản 200 N, động cơ hoạt động ở 20 kW. Tốc độ không đổi: $\tfrac{20000}V = 750(9.8)\tfrac17 + 200 = 1250$, nên $V = 16\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. Tại $10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$: $2000 - 1250 = 750a$, nên $a = 1\ \mathrm{m\,s^{-2}}$. Tắt động cơ tại A ở $10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$: áp dụng nguyên lý công-động năng thu được $\tfrac12(750)(100) = 750g(d\sin\alpha) + 200d$, tức là $37500 = 1250d$ và $d = 30$ m — lực cản tác dụng trên khoảng cách DÈNG $d$, trọng lực trên độ cao $d\sin\alpha$.

Ví dụ minh họa — vật bay kết thúc bằng năng lượng (WME02 Tháng Sáu 2025 Câu7). Một vật bay trên quỹ đạo parabol rời O tại $20\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ ($g = 10$) là 11 m lên khi thành phần dọc của nó là $V$ và thành phần ngang của nó là $2V$. Năng lượng: $200 = \tfrac12(V^2 + 4V^2) + 110$, do đó $V = 6$ (thành phần 6 và 12). Nó gặp một mặt phẳng ở $60°$ so với phương NGANG GÓC, nên vận tốc nằm ở $30°$ dưới phương ngang: tốc độ $= \tfrac{12}{\cos30°} = 8\sqrt3$, và năng lượng từ O cho $200 = \tfrac12(192) + 10H$, do đó $H = 10.4 \to 10$ m (2 chữ số có nghĩa).

Định luật thực nghiệm của Newton, hệ số phục hồi: $e = \dfrac{v_B - v_A}{u_A - u_B}$ (tốc độ tách ra chia cho tốc độ tiếp cận, $0 \le e \le 1$; $e = 1$ đàn hồi, $e = 0$ chúng dính vào nhau). Với định luật bảo toàn động lượng, hai phương trình giải được mọi va chạm trực tiếp. Sự hao hụt KE luôn phân tích được với $(1 - e^2)$: hao hụt $= \tfrac{m_Am_B}{2(m_A+m_B)}(1-e^2)(u_A - u_B)^2$ — và xung lực tác dụng lên mỗi vật thể đều đến từ sự thay đổi động lượng của chính nó. Một lần nảy lại từ tường cố định nhân tốc độ lên $e$ một cách trực tiếp.

Ví dụ minh họa — câu chuyện đầy đủ về va chạm (WME02 Tháng Sáu 2025 Câu5). P (khối lượng $2m$, tốc độ $u$) va chạm với Q (khối lượng $m$) đang đứng yên, hệ số phục hồi $e$. Động lượng: $2u = 2v_P + v_Q$; hệ số phục hồi: $eu = v_Q - v_P$. Giải: $v_Q = \tfrac{2(1+e)u}3$, $v_P = \tfrac{(2-e)u}3$. Động năng sau là $\tfrac{mu^2}3(2 + e^2)$, nên độ giảm là $\tfrac{mu^2}3(1 - e^2)$ — hệ số $k = \tfrac13$. Nếu xung lực tác dụng lên Q là $\tfrac89mu$: $m\cdot\tfrac{2(1+e)u}3 = \tfrac{8mu}9$ cho $e = \tfrac13$. Q sau đó nảy từ tường với hệ số đàn hồi $f$ để đạt tốc độ của P là $\tfrac59u$: $f\cdot\tfrac89u = \tfrac59u$, do đó $f = \tfrac58$.

Dãy va chạm ba vật và dãy va chạm với tường là vấn đề theo dõi: giải hoàn toàn va chạm đầu tiên, chuyển tốc độ còn lại vào va chạm tiếp theo, và chỉ đặt phương trình các đại lượng mà đề bài liên kết ("cùng tốc độ", "đứng yên"). Nảy từ tường đảo chiều và nhân tốc độ theo $e$; giữ một sơ đồ có dấu cho mỗi giai đoạn.

Một vật rắn ở trạng thái cân bằng cần tổng ngoại lực bằng không VÀ tổng momen đối với mọi điểm bằng không. Chọn gốc momen để loại bỏ ẩn số (một phản lực duy nhất của thanh trơn là lý do momen đối với điểm tiếp xúc sàn mang lại kết quả). Phân tích theo phương ngang và phương dọc để tìm các thành phần tiếp xúc; trên mặt đất nhám ở trạng thái cân bằng giới hạn, lực ma sát $F = \mu R$ với $F$ theo phương ngang.

Ví dụ minh họa — thanh tựa vào thanh trơn (WME02 tháng 2025 câu6). Một thanh đồng chất AB (khối lượng $m$, chiều dài $2a$) rests với A trên mặt đất nhám tựa vào thanh trơn tại C, $AC = 1.5a$, độ nghiêng $\theta$, phản lực pháp tuyến $S$ của thanh, vuông góc với thanh. Momen đối với A: $S(1.5a) = mg\,a\cos\theta$, suy ra $S = \tfrac{2mg\cos\theta}3$. Theo phương dọc: $V = mg - S\cos\theta = \tfrac{mg}3(3 - 2\cos^2\theta)$. Cân bằng giới hạn với $\mu = \tfrac47$: $F = S\sin\theta$, do đó $\tfrac47\cdot\tfrac{mg}3(3 - 2\cos^2\theta) = \tfrac{2mg}3\cos\theta\sin\theta$. Chia cho $\cos^2\theta$ và sử dụng $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$: $12\tan^2\theta - 14\tan\theta + 4 = 0$, i.e. $6\tan^2\theta - 7\tan\theta + 2 = 0$.

• Tích phân $a(t)$ từ $v$ đến $s$ với hằng số từ điều kiện ban đầu; xử lý quãng đường tổng cộng qua điểm đổi chiều; đạo hàm $\mathbf r(t)$ để tìm vận tốc vector và áp dụng xung lực như $\mathbf I = m\Delta\mathbf v$.
• Lập bảng trọng tâm (trọng lượng khối lượng/diện tích/chiều dài) với khoảng cách có dấu cho các mảnh đối diện và lỗ âm; sử dụng kết quả dây và tấm trong tài liệu; tìm góc treo bằng lượng giác tại điểm treo cộng thêm bất kỳ góc nào của tam giác cân.
• Áp dụng định lý công-động năng và bảo toàn cơ năng, với công của lực cản trên quãng đường dốc và $P = Fv$ theo cả hai chiều.
• Giải va chạm trực tiếp với động lượng + hệ số phục hồi; nêu cả hai vận tốc; tính toán sự hao hụt $(1-e^2)$ năng lượng và xung lực riêng cho từng vật; nối tiếp các lần nảy tường và va chạm thứ hai bằng sơ đồ có dấu.
• Đối với vật rắn: mô-men lực quanh trục quay chưa biết, phân tích thành phần, và đưa bài toán cân bằng giới hạn về phương trình theo $\tan\theta$.