Xác suất

AQA GCSE Toán học 8300 chủ đề 3.5 (phiên bản chương trình 1.0, 12 tháng 9 năm 2014, đề thi đầu tiên 2017). Các hàng Foundation P1–P9 được chia thành ba mức độ; các hàng foundation bổ sung là mẫu thực nghiệm không thiên lệch hướng tới phân bố lý thuyết các hàng nền tảng là mẫu không thiên vị thực nghiệm có xu hướng tiến tới lý thuyết phân phối (P5), sơ đồ cây như một công cụ hệ thống (P6) và xác suất của độc lập và TỪNG KIỆN CỘNG GÓP PHỤ THUỘC với những yếu tố nền tảng Kiến thức bắt buộc cho chủ đề 8: tần suất kỳ vọng với bảng hai chiều, sơ đồ cây và biểu đồ Venn (P9). Bộ đề Higher tháng Sáu 2024 cung cấp các giá trị chuẩn xác dưới đây.

Kiến thức cốt lõi cho chủ đề 3.5:

Ghi lại, mô tả và phân tích tần suất của các kết quả xác suất thí nghiệm bằng bảng và cây tần suất (P1) — xác suất được viết dưới dạng phân số, thập phân hoặc phần trăm. Áp dụng các khái niệm về ngẫu nhiên, công bằng và cùng khả năng xảy ra sự kiện để tính toán KẾT QUẢ KỲ VỌNG của nhiều tương lai lại (P2): với xác suất đã cho $p$, số lượng kỳ vọng sau $n$ lần thử là $np$ — trung bình dài hạn, không phải sự đảm bảo. Một con quay rơi vào màu đỏ 18 lần trong 60 lần quay ước tính $P(\text{red}) = \tfrac{18}{60} = 0.3$, nên 200 lần quay tiếp theo kỳ vọng $0.3 \times 200 = 60$ lần màu đỏ; xuất hiện 48 hoặc 54 mặt ngửa trong 100 lần ném công bằng là có thể xảy ra mặc dù kỳ vọng là 50.

Ví dụ có hướng dẫn: 3H Tháng 6 2024 Câu10, đã chỉnh sửa. Xác suất trời mưa trong một tháng Sáu ở một thị trấn là 0.38. Trong 150 ngày, số lượng ngày dự kiến khô ráo: $1 - 0.38 = 0.62$, sau đó $0.62 \times 150 = 93$.

Hiểu rằng MẪU THỰC NGHIỆM không thiên vị có xu hướng tiến tới phân phối lý thuyết khi phân bố với kích thước mẫu tăng dần (P5) — 6 mặt sấp trong 10 lần tung ước lượng 0.6; 502 trong 1000 ước lượng 0.502 — mẫu lớn hơn ổn định hơn, nhưng không bao giờ chính xác tuyệt đối.

Ví dụ có hướng dẫn: 2H Tháng 6 2024 Câu7, đã chỉnh sửa. Bốn học sinh tung đồng xu một số lần khác nhau; một người thu được 52 mặt ngửa trong 200 lần tung. Ước lượng tốt nhất cho $P(\text{head})$ là $\tfrac{52}{200}$ — vì nó đến từ số lượng lần tung lớn nhất.

Liên hệ tần suất tương đối kỳ vọng với xác suất lý thuyết bằng cách sử dụng ngôn ngữ thích hợp và thang đo xác suất 0-đến-1 (P3); áp dụng tính chất rằng tổng xác suất của một tập hợp đầy đủ các (tương đối độc lập) kết quả hoặc sự kiện bằng 1 (P4). Nếu đỏ, xanh dương và xanh lá là đầy đủ với xác suất 0.3 và 0.45, thì màu thứ ba là $1 - 0.75 = 0.25$.

Ví dụ có hướng dẫn: 2H Tháng 6 2024 Câu4(b), đã chỉnh sửa. Một danh sách xác suất được đưa ra xác suất được tuyên bố cho con quay cộng lại bằng 1.1 — không thể xảy ra: tổng xác suất của một tập hợp các kết quả tương đối độc lập đầy đủ phải bằng 1 (0.1 là quá nhiều).

Ví dụ có hướng dẫn: 3H Tháng 6 2024 Câu16, đã chỉnh sửa. Hai con xúc xắc được gieo 72 lần; một tổng 7 xảy ra 14 lần. Lý thuyết $= \tfrac{6}{36} = \tfrac16$ (kỳ vọng $72 \times \tfrac16 = 12$); tần suất tương đối là $= \tfrac{14}{72} = \tfrac7{36}$, vượt quá $\tfrac16$. Kết quả này riêng lẻ không chứng minh được thiên lệch: sai số lấy mẫu thông thường có thể giải thích sự chênh lệch so với tần suất kỳ vọng.

Đếm các tập hợp và tổ hợp các tập hợp CÓ HỆ THỐNG, sử dụng bảng, lưới và biểu đồ Venn, bao gồm cả biểu đồ cây ở nền tảng nâng cao (P6). Xây dựng các không gian khả năng lý thuyết cho các thí nghiệm đơn và kết hợp với các kết quả đồng khả năng và sử dụng chúng để tính xác suất lý thuyết (P7): một đồng xu và một xúc xắc tạo ra 12 kết quả có thứ tự khả năng như nhau, đầu-chẵn là $\tfrac3{12} = \tfrac14$; hai xúc xắc tạo ra 36 cặp có thứ tự — tổng bảy có $\tfrac6{36} = \tfrac16$ và ít nhất mười-one có $\tfrac3{36} = \tfrac1{12}$. Xác định xem thứ tự có quan trọng hay không, và tại sao các kết quả đã liệt kê đều khả năng như nhau, trước khi chia số lượng.

Ví dụ có hướng dẫn: 3H Tháng 6 2024 Câu22, đã chỉnh sửa. Một mã sử dụng bốn chữ số khác nhau từ năm: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ mã khả thi — đếm có hệ thống xuống từng giai đoạn, không bao giờ $5^4 = 625$, cho phép các chữ số lặp lại. (Số lượng trùng hợp tình cờ bằng $5! = 120$ chỉ vì, sau khi chọn bốn chữ số, chữ số thứ năm bị bắt buộc.)

Trong một lớp học có 30 học sinh, 18 đạp xe, 12 bơi và 7 làm cả hai: các vùng Venn được điền đầu tiên phần giao — chỉ đạp xe 11, chỉ bơi 5, ít nhất một hoạt động $= 23$, không phải 7; bảng hai chiều kiểm tra ngược lại 18, 12, 30. Hợp, giao và phần bù dịch các từ both, either/at least one, only và neither thành các vùng đã đếm; tô màu vùng đúng.

Ví dụ có hướng dẫn: 2H Tháng 6 2024 Câu9, đã chỉnh sửa. Trên sơ đồ Venn của hai tập hợp, "cả A và B" tô vùng GIAO — chỉ là phần giao thoa.

*Điền phần giao trước: 11 + 7 + 5 = 23 tham gia ít nhất một hoạt động, nên 7 không tham gia gì cả

Tính xác suất của các sự kiện kết hợp độc lập và phụ thuộc, bao gồm cả việc sử dụng sơ đồ cây và các biểu diễn khác, và hiểu được nền tảng các giả định nền tảng (P8) — bao gồm KHI NÀO CỘNG và khi nào nhân: nhân dọc theo một đường đi (các giai đoạn liên tiếp), cộng trên các đường đi rời rạc (các tuyến các tuyến đường). Một túi chứa 3 quân đỏ và 2 quân xanh dương: có hoàn trả $P(RR) = \tfrac35 \times \tfrac35 = \tfrac9{25}$; không hoàn trả $P(RR) = \tfrac35 \times \tfrac24 = \tfrac3{10}$ và $P(\text{one of each}) = \tfrac35 \times \tfrac24 + \tfrac25 \times \tfrac34 = \tfrac35$. Các sự kiện độc lập giữ cố định mẫu số ở mỗi giai đoạn — chứng minh tính độc lập từ bối cảnh (thay thế, thử nghiệm riêng biệt) trước khi sử dụng tích thuần túy; hai sự kiện rời rạc có xác suất dương là KHÔNG ĐỘC LẬP. các sự kiện rời rạc có xác suất dương thì KHÔNG độc lập.

Ví dụ có hướng dẫn: 3H Tháng 6 2024 Câu12(b), đã chỉnh sửa. Một máy hỏng vào một thời điểm cho trước ngày với xác suất 0.05, độc lập mỗi ngày. $P(\text{ít nhất một lỗi trong hai ngày}) = 1 - 0.95 \times 0.95 = 1 - 0.9025 = 0.0975$ — phương pháp phần bù tốt hơn việc cộng ba đường dẫn lỗi.

Nâng cao (P9): tính toán và diễn giải xác suất có điều kiện thông qua kỳ vọng tần số với bảng hai chiều, sơ đồ cây và sơ đồ Venn — $P(A \mid B) = \tfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ với $P(B) > 0$: điều kiện hóa HẠN CHẾ mẫu số cho nhóm đã cho. Từ tập hợp 30 (18 chu kỳ, 12 bơi, 7 cả hai): $P(\text{swim} \mid \text{cycle}) = \tfrac7{18}$ trong khi $P(\text{cycle} \mid \text{swim}) = \tfrac7{12}$ — đảo ngược điều kiện thay đổi mẫu số, và không cái nào bằng xác suất không điều kiện $\tfrac{12}{30}$. Với tần suất dự kiến: một điều kiện ảnh hưởng đến 20% 1000 người, một xét nghiệm dương tính cho 90% những người có nó và 10% những người không có, cho ra $180 + 80 = 260$ kết quả dương tính, trong đó $\tfrac{180}{260} = \tfrac9{13} \approx 0.692$ có điều kiện — không phải 90%. Given-positive và positive-given-condition là hai câu hỏi khác nhau.

Ví dụ có hướng dẫn: Mức cao. Túi 3 quân đỏ-2 quân xanh dương, không hoàn trả, ĐẢO NGƯỢC: biết bóng thứ hai là đỏ, thì xác suất bóng đầu tiên là xanh? $P(\text{second R}) = \tfrac35 \times \tfrac24 + \tfrac25 \times \tfrac34 = \tfrac{12}{20}$; $P(\text{blue then red}) = \tfrac25 \times \tfrac34 = \tfrac6{20}$; so $P(\text{first B} \mid \text{second R}) = \tfrac6{20} \div \tfrac{12}{20} = \tfrac12$. Đếm cũng khớp: 12 trong số 20 cặp thứ tự kết thúc màu đỏ; 6 trong số đó bắt đầu màu xanh dương.

• Bảng tần suất và cây tần suất cho thí nghiệm; xác suất dưới dạng phân số, thập phân, phần trăm (P1).
• Tính ngẫu nhiên, công bằng, các sự kiện đồng khả năng; kết quả kỳ vọng từ nhiều thí nghiệm tương lai (P2; Q10 neo: $0.62 \times 150 = 93$).
• Tần suất tương đối so với xác suất lý thuyết trên thang đo từ 0 đến 1 (P3; Q16 neo: $\tfrac{14}{72}$ vs $\tfrac16$).
• Các kết quả bao quát và loại trừ lẫn nhau có tổng bằng 1; phần bù (P4; Q4b neo).
• Mẫu thực nghiệm không thiên lệch có xu hướng tiến gần về lý thuyết khi mẫu lớn hơn (P5; Q7 neo: $\tfrac{52}{200}$ từ số lần lật nhiều nhất).
• Liệt kê hệ thống qua bảng, lưới, biểu đồ Venn, cây (P6; Q22 neo: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$).
• Không gian khả năng lý thuyết cho các thí nghiệm đơn lẻ và kết hợp đồng khả năng (P7; Q4a neo: $\tfrac26$).
• Sự kiện kết hợp độc lập và phụ thuộc; nhân dọc theo các nhánh, cộng các tuyến đường rời rạc; giả định được nêu rõ (P8; Q12b neo: $1 - 0.95^2 = 0.0975$).
• Xác suất điều kiện thông qua tần suất kỳ vọng với bảng hai chiều, cây, biểu đồ Venn (P9: $\tfrac7{18}$ vs $\tfrac7{12}$).

Ghi chú biên: Không có nội dung nào trong phần này xuất hiện trong Bảng Công thức; "kỳ vọng" là một trung bình dài hạn; chứng minh tính độc lập từ ngữ cảnh trước khi nhân. Ví dụ đã giải được chuyển đổi từ đề thi tháng Sáu 2024 Nâng cao hoặc gốc.