Tỷ lệ, tỷ số và tốc độ biến thiên

AQA GCSE Toán học 8300 chủ đề 3.3 (phiên bản chương trình 1.0, 12 tháng 9 năm 2014, đề thi đầu tiên 2017). Các hàng Foundation R1–R16 chạy theo ba cấp độ; phần bổ sung chỉ dành cho Higher là các đơn vị hợp thành (mật độ, áp suất) trong cả ngữ cảnh số học VÀ đại số (R1), làm việc với phần trăm trên 100% và bài toán giá trị ban đầu (R9), $k : k^2 : k^3$ tỷ lệ đồng dạng (R12), thiết lập phương trình cho tỷ lệ thuận và nghịch (R13), tốc độ thay đổi tức thời như hệ số góc của tiếp tuyến (R15), và nói chung quá trình lặp lại vượt ra ngoài lãi suất kép (R16). Bộ đề Higher tháng Sáu 2024 cung cấp các neo xác nhận bên dưới.

Kiến thức bắt buộc cho chủ đề 3.3:

Chuyển đổi linh hoạt giữa các đơn vị tiêu chuẩn liên quan (thời gian, chiều dài, diện tích, thể tích/dung tích, khối lượng) và đơn vị hợp thành (vận tốc, mức lương theo giờ, giá cả) trong ngữ cảnh số học; phần bổ sung Foundation thêm mật độ và áp suất, và Higher sử dụng chúng trong ngữ cảnh số học Trong các ngữ cảnh đại số — một hình trụ có thể tích $V = 2x^3$ và khối lượng $m = 5x^2$ có mật độ $\tfrac{5x^2}{2x^3} = \tfrac{5}{2x}$.

Ký hiệu tỷ lệ rút gọn về dạng tối giản ($45 : 60 = 3 : 4$); biểu diễn một đại lượng thành phân số của đại lượng khác (phân số nằm trên hoặc dưới 1); chia một đại lượng theo tỉ lệ phần : phần hoặc tỉ lệ phần : tổng — £350 trong $2 : 5$ cho ra £100 và £250. Biểu diễn mối quan hệ nhân thành tỷ lệ hoặc phân số (R6); tỷ lệ thuận là sự bằng nhau của các tỷ lệ (R7); liên hệ các tỷ lệ với phân số và HÀM TUYÊN TÍNH (R8: phương pháp đơn vị và $y = kx$ là cùng một bậc thang). Áp dụng tỷ lệ vào các ngữ cảnh thực tế — chuyển đổi, so sánh, thu phóng, thang đo giống nhau). Áp dụng tỷ lệ vào thực tế — chuyển đổi, so sánh, thu phóng, trộn lẫn, nồng độ, bài toán giá trị tốt nhất/mua tốt nhất (R5): so sánh giá đơn vị trước khi quyết định.

Ví dụ minh họa. Mua tiết kiệm nhất: túi 2.5 kg có giá £6.40 (giá đơn vị £6.40 ÷ 2.5 = £2.56/kg) so với hộp 400 g có giá £1.12 (£1.12 ÷ 0.4 = £2.80/kg) — túi lớn hơn có giá trị tốt hơn, và phép so sánh chỉ hoạt động khi CẢ HAI đều tính theo giá trên mỗi kilogram. Nêu giá đơn vị: giám khảo muốn thấy phép chia, không chỉ lựa chọn.

Phần trăm là số phần trên trăm; diễn giải phần trăm và sự thay đổi phần trăm như đại lượng dưới dạng phần trăm của đại lượng khác, so sánh hai đại lượng, làm việc trên 9%, số lượng là phần trăm của số khác, so sánh hai số lượng, tính trên 100%, tăng/giảm phần trăm, bài toán giá trị ban đầu và lãi suất đơn giản. Nguyên tắc hệ số nhân: +12% là ×1.12; −17% là ×0.83; giá trị ban đầu chia số cuối cùng cho hệ số nhân.

Ví dụ minh họa: 2H Tháng Sáu 2024 Câu2, điều chỉnh. Dân số một thị trấn giảm 12% xuống 2200. Giá trị ban đầu $= 2200 \div 0.88 = 2500$. Kiểm tra hệ số nhân của chính MS: $2{,}200{,}000 \div 0.88 = 2.5 \times 10^6$ dưới dạng chuẩn — phép chia tương tự, các số được phóng đại.

Giải các bài toán về tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch bằng biểu diễn đồ thị và BIỂU THỨC ALGEBRAIC biểu diễn (R10). Mức độ cao hơn giải thích và XÂY DỰNG phương trình mô tả tỷ lệ thuận (R13): $X \propto Y$ biểu thị $X = kY$; $X$ tỷ lệ nghịch với $Y$ có nghĩa là $X = k/Y$. Nếu $y \propto x^3$ tương ứng với $y = 24$ tại $x = 2$, thì hệ số tỷ lệ là $k = 3$; nếu $p \propto \tfrac1{x^2}$ tương ứng với $p = 8$ tại $x = 2$, thì $k = 32$ và $p = \tfrac{32}{x^2}$. Nhận biết và giải thích các đồ thị: tỉ lệ thuận là đường thẳng đi qua gốc tọa độ (cấp bậc cao hơn là đường cong hướng lên); tỉ lệ nghịch là đường cong hình nghịch đảo gốc tọa độ (lũy thừa cao hơn đồ thị cong lên); tỷ lệ nghịch là đường cong hình dạng nghịch đảo (R14 liên hệ hệ số góc của đường thẳng với tốc độ biến thiên).

Sử dụng đơn vị hợp — vận tốc, mức lương theo giờ, giá đơn vị (Nền tảng bổ sung); mật độ và áp suất (R11), bao gồm cả so sánh. Một hành trình 234 km trong 2 giờ 36 phút trung bình $234 \div 2.6 = 90$ km/h; £9.20/h trong 7.5 giờ trả £69; so sánh giá trị tốt nhất chia giá cho số lượng và so sánh cùng loại.

Sử dụng tỉ số thu phóng, sơ đồ thu phóng và bản đồ (R2, bao gồm các bài toán hình học). So sánh độ dài, diện tích và thể tích bằng ký hiệu tỉ lệ và tỉ số thu phóng (R12): độ dài $k$ : tỉ số thu phóng diện tích $k^2$ : thể tích $k^3$, có liên kết đến sự đồng dạng bao gồm tỉ số lượng giác; Level cao mở rộng đến thang đo $k : k^2 : k^3$ trong các bài toán — các bức tượng giống nhau có chiều cao $3 : 5$ có thể tích theo tỉ lệ $27 : 125$, nên một bức tượng nhỏ hơn 216 cm³ bức tượng nhỏ hơn được thu phóng thành $216 \times \tfrac{125}{27} = 1000$ cm³.

Diễn giải độ dốc của đồ thị đường thẳng như một tốc độ thay đổi (R14) — trên đồ thị thời gian - quãng đường đó là vận tốc; trên đồ thị thời gian - vận tốc độ dốc là gia tốc và DIỆN TÍCH là quãng đường. Level cao (R15) đọc độ dốc tại một điểm trên ĐƯỜNG CONG như tốc độ thay đổi tức thời: vẽ tiếp tuyến và lấy độ dốc của nó làm tăng/giảm — và áp dụng tốc độ trung bình (cốt dây) và tốc độ tức thời (tiếp tuyến) trong các ngữ cảnh số học, đại số và đồ thị.

Thiết lập, giải và PHÂN TÍCH các bài toán tăng trưởng và suy giảm bao gồm lãi suất kép (R16): $A = P\left(1 \pm \tfrac r{100}\right)^n$. £2000 với lãi suất kép 3% trong 4 năm phát triển thành $2000 \times 1.03^4 = £2251.02$; một chiếc xe có giá trị £12000 giảm 15%/năm sẽ hạ xuống $12000 \times 0.85^3 = £7369.50$.

Ví dụ minh họa: 2H Tháng Sáu 2024 Câu10, điều chỉnh. Một ngôi nhà có giá trị £90000 tăng 3% sau đó 8%: $90000 \times 1.03 \times 1.08 = £100116$ — vượt £100000, nên có. Các MS con số nhân: $1.03 \times 1.08 = 1.1124 > 1.111\ldots = 100000/90000$. Cao hơn thêm vào đó quá trình lặp: $x_{n+1} = f(x_n)$ chu kỳ cho việc lặp lại tỷ lệ phần trăm — một đại lượng tăng 5% mỗi chu kỳ lặp lại $x_{n+1} = 1.05x_n$ lần, và giới hạn (nếu có) giải $x = f(x)$. Giải thích kết quả trong ngữ cảnh: làm tròn hợp lý và nêu đơn vị.

• Chuyển đổi đơn vị và đơn vị phức tạp bao gồm mật độ và áp suất, đại số ở mức Cao (R1, R11).
• Hệ số tỷ lệ, sơ đồ và bản đồ (R2); lượng giá trị dưới dạng phân số; ký hiệu tỷ lệ, chia sẻ, bài toán thực tế và mua hàng tốt nhất (R3–R5).
• Mối quan hệ nhân số dưới dạng tỷ lệ/phân số; tỷ lệ là sự bằng nhau của các tỷ lệ; tỷ lệ về phân số và hàm tuyến tính (R6–R8).
• Các số nhân phần trăm bao gồm trên đây 100%, thay đổi, giá trị ban đầu, lãi đơn (R9; Q2 tiêu chuẩn).
• Tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch: biểu diễn bằng đồ thị và đại số; giải thích và lập phương trình tỉ lệ (R10, R13).
• Hệ số góc dưới dạng tốc độ biến thiên; tốc độ trung bình (đường dây cung) và tốc độ tức thời (tiếp tuyến) (R14–R15).
• Tỉ lệ chiều dài : diện tích : thể tích $k : k^2 : k^3$ với mối liên hệ đồng dạng (R12).
• Tăng trưởng và suy giảm bao gồm lãi kép; các quá trình lặp tổng quát với diễn giải (R16; Q10 tiêu chuẩn).

Ghi chú biên: Bảng Công thức không cung cấp nội dung cho chủ đề này; so sánh hàng hóa tốt nhất phải hiển thị đơn giá; các quy trình lặp mức cao hơn bao gồm kiểm tra hội tụ. Các ví dụ minh họa được điều chỉnh từ đề thi Higher tháng Sáu 2024 (xem bằng chứng đánh giá trong phần meta) hoặc là bản gốc.