Đại số

AQA GCSE Mathematics 8300 topic 3.2 (specification Version 1.0, 12 September 2014, các kỳ thi đầu tiên 2017). Các hàng nền tảng chạy từ A1–A25 trong ba cấp độ (nền tảng cơ bản / cấp độ cơ bản / chỉ cấp độ nâng cao); phần bổ sung chỉ dành cho cấp độ nâng cao là căn thức và phân thức đại số (A4), hằng đẳng thức và chứng minh (A6), hàm ngược và hàm hợp với ký hiệu f, fg và f⁻¹ (A7), đường thẳng vuông góc (A9), điểm cực trị bằng cách hoàn thành bình phương đồ thị bình phương (A11), lập phương, nghịch đảo, hàm mũ và lượng giác (A12), phương trình đường tròn với tiếp tuyến (A16), công thức nghiệm bậc hai (A18), tuyến tính/bậc hai hệ phương trình đồng thời (A19), lặp lại (A20), ký hiệu tập hợp và miền bất đẳng thức đồ thị (A22) và dãy số bậc hai/hình học/căn thức (A24–A25). Bộ đề Higher tháng Sáu 2024 cung cấp các neo xác minh bên dưới.

Kiến thức bắt buộc cho chủ đề 3.2 (Tờ Công thức chỉ cung cấp công thức nghiệm bậc hai):

Ký hiệu đại số viết $ab$ thay cho $a \times b$, $3y$ thay cho $y + y + y$, $a^2$, $a^3$, $a^2b$, $\tfrac ab$ thay cho $a \div b$ — hệ số dưới dạng phân số, không phải thập phân — và dấu ngoặc; đáp án được kỳ vọng ở dạng tối giản mà không cần yêu cầu. Thay thế vào công thức bao gồm cả công thức khoa học (công thức chưa quen sẽ được trích dẫn trong câu hỏi). Các thuật ngữ — biểu thức, phương trình, công thức, bất đẳng thức, đẳng thức, số hạng, thừa số — mang ý nghĩa: một phương trình hỏi giá trị nào thỏa mãn; một đẳng thức đúng với mọi giá trị.

Rút gọn và thao tác bằng cách nhóm các số hạng giống nhau, nhân một số hạng đơn qua dấu ngoặc, đặt thừa số chung ra ngoài và sử dụng các quy tắc lũy thừa. Foundation thêm vào khai triển hai nhị thức và phân tích $x^2 + bx + c$ theo hiệu hai bình phương hình vuông. Mức cao hơn bổ sung căn thức và phân thức đại số: khai triển và rút gọn $(3 + \sqrt2)(1 - 2\sqrt2) = 3 - 6\sqrt2 + \sqrt2 - 4 = -1 - 5\sqrt2$; đồng nhất hóa $6x^2 - 7x - 3 = (3x + 1)(2x - 3)$.

Một đẳng thức khẳng định sự tương đương cho TẤT CẢ các giá trị: $(x + 2)^2 \equiv x^2 + 4x + 4$, và phương trình 3H tháng Sáu 2024 yêu cầu chính xác điều này ("nó đúng với mọi giá trị của $x$"). Chứng minh khai triển và so sánh hai vế — ví dụ số không bao giờ chứng minh được đẳng thức. Sắp xếp lại công thức để đổi chủ thể ($v = u + at \Rightarrow t = \tfrac{v-u}a$), bao gồm cả từ các môn học khác bằng lời hoặc ký hiệu.

Hàm ánh xạ đầu vào sang đầu ra; diễn giải các biểu thức đơn giản dưới dạng hàm (A7, Nền tảng). Mức cao hơn bổ sung hàm nghịch đảo — đảo ngược các phép toán, hoặc chuyển vị trí và sắp xếp lại — và hợp thành $\mathrm{fg}(x) = f(g(x))$, áp dụng $g$ trước, sử dụng $f(x)$, $fg(x)$ và $f^{-1}(x)$ ký hiệu. Ví dụ đã giải: $f(x) = 3x - 5$, $g(x) = x^2$: $\mathrm{fg}(2) = f(4) = 7$; từ $y = 3x - 5$, $x = \tfrac{y+5}3$, do đó $f^{-1}(x) = \tfrac{x+5}3$. Kiểm tra $f^{-1}(f(x)) = x$.

Tọa độ trong bốn góc phần tư; vẽ đường thẳng từ $y = mx + c$. Các tầng nền tảng bổ sung xác định các đường song song từ độ dốc bằng nhau; mức cao hơn tìm phương trình đi qua hai điểm hoặc một điểm với độ dốc đã cho và xác định các đường vuông góc ($m_1 m_2 = -1$): đi qua $(1, 7)$ và $(2, 9)$ thì đường thẳng là $y = 2x + 5$, và đường vuông góc qua $(1, 7)$ là $y - 7 = -\tfrac12(x - 1)$. Xác định hệ số góc và tung độ gốc bằng đồ thị VÀ đại số (A10).

Đối với hàm bậc hai (A11), xác định nghiệm, tung độ gốc và điểm cực trị bằng đồ thị; nền tảng bổ sung giải nghiệm bằng đại số; level cao giải điểm cực trị bằng cách hoàn thành bình phương: $y = x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4$ có giá trị nhỏ nhất $(3, -4)$ và trục đối xứng $x = 3$. Nhận biết và vẽ đồ thị tuyến tính và bậc hai (A12); các level bổ sung thêm đa thức bậc ba đơn giản và đảo ngược $y = \tfrac1x$ ($x \ne 0$); level cao thêm hàm mũ $y = k^x$ ($k > 0$) và $y = \sin x$, $\cos x$, $\tan x$ cho góc có kích thước bất kỳ. Vẽ phép tịnh tiến và phản xạ của một hàm đã cho (A13) — $y = f(x) + a$ lên trên, $y = f(x + a)$ sang trái. Vẽ và diễn giải đồ thị thực tế phi tiêu chuẩn bao gồm khoảng cách/tốc độ/gia tốc động học (A14, đảo ngược và hàm mũ ở level cao); ước lượng hệ số góc và diện tích dưới đồ thị và diễn giải chúng như các quãng đường (A15 — diện tích dưới đồ thị vận tốc-thời gian có dấu cho độ dịch chuyển; cộng các diện tích tuyệt đối để có tổng quãng đường).

Level cao A16: đường tròn tâm tại gốc tọa độ có $x^2 + y^2 = r^2$, và tiếp tuyến tại $(x_1, y_1)$ có hệ số góc $-\tfrac{x_1}{y_1}$ khi $y_1\ne0$. Khi cả hai hệ số góc đều hữu hạn, hệ số góc bán kính là $\tfrac{y_1}{x_1}$ và tích của chúng là $-1$. Tại $y_1=0$, tiếp tuyến đứng thẳng.

Giải phương trình bậc nhất một ẩn (A17) — ẩn ở cả hai vế, có ngoặc bao gồm: $7x - 22 = 4x + 29$ cho $3x = 51$ và $x = 17$ (trục 1H tháng Sáu 2024 neo Q8). Tam thức bậc hai (A18): phân tích $x^2 + bx + c$ (Nền tảng bổ sung, bao gồm biến đổi), để mỗi nghiệm đến từ một thừa số bằng không; Nâng cao thêm hoàn thành bình phương và công thức tam thức bậc hai, với thực biến quyết định số nghiệm — $x^2 + 6x + 2 = 0$ cho $x = -3 \pm \sqrt7$. Giải xấp xỉ từ đồ thị ở mọi mức độ.

Ví dụ minh họa: Mức độ nâng cao. $2x^2 - 5x - 4 = 0$: $b^2 - 4ac = 25 + 32 = 57 > 0$, nên có hai nghiệm phân biệt; $x = \tfrac{5 \pm \sqrt{57}}{4}$, và chỉ ở dòng cuối cùng $x = 3.14$ hoặc $-0.64$ (2 chữ số thập phân) — giữ nguyên $\sqrt{57}$ chính xác cho đến đáp án cuối cùng, và nêu độ chính xác.

Đồng thời (A19): giải hai phương trình tuyến tính bằng đại số và đồ thị thông qua phương pháp trừ (Nền tảng).

Ví dụ minh họa. $3x + 2y = 16$ và $5x - 2y = 8$: các số hạng $y$ có dấu ngược nhau, nên CỘNG — $8x = 24$, $x = 3$; thế lại $9 + 2y = 16$, nên $y = 3.5$. Cùng dấu: trừ đi. Không có gì khớp: nhân một phương trình lên trước.

Nâng cao thêm tuyến tính/bậc hai — $y = 2x + 5$ với $y = x^2$: thế vào cho $x^2 - 2x - 5 = 0$, nên $x = 1 \pm \sqrt6$ — giữ cả hai giao điểm.

Lặp (A20, Nâng cao): giải bằng số ký hiệu hậu tố — từ $x^3 - 3x - 1 = 0$, biến đổi $x = \sqrt[3]{3x + 1}$ và lặp $x_{n+1} = \sqrt[3]{3x_n + 1}$ từ $x_1 = 1$: $x_2 = 1.587$, $x_3 = 1.793$, $x_4 = 1.855$, $x_5 = 1.872$, hội tụ về nghiệm $1.879$ (3 chữ số chính xác). Hiển thị giá trị độ chính xác quy định và kiểm tra giá trị cuối trong phương trình gốc.

Chuyển tình huống thành đại số (A21) — thiết lập và giải phương trình, bao gồm cả hình học và bài toán có ngữ cảnh.

Ví dụ minh họa. Ali lớn tuổi hơn Ben 4 năm; Cara gấp đôi tuổi Ben Ben; tổng tuổi của họ là 44. Gọi tuổi Ben là $x$: $x + (x + 4) + 2x = 44$, vậy $4x = 40$, $x = 10$ — Ben 10, Ali 14, Cara 20; kiểm tra $10 + 14 + 20 = 44$. Trả lời câu hỏi được yêu cầu (các độ tuổi), không chỉ $x$.

Bất đẳng thức (A22): giải bất đẳng thức tuyến tính một ẩn (Cấp độ cơ bản) với biểu diễn trên trục số (tròn mở cho dấu nghiêm ngặt, tròn đóng bao gồm cả dấu bằng); Cấp độ nâng cao giải bất đẳng thức tuyến tính một hoặc hai ẩn và bất đẳng thức bậc hai, với ký hiệu tập hợp và vùng đồ thị — $x^2 - x - 6 > 0$ phân tích thành $(x - 3)(x + 2) > 0$, nên $x < -2$ hoặc $x > 3$, viết là $\{x{:}\ x < -2\} \cup \{x{:}\ x > 3\}$; đường ranh giới nét đứt cho các bất đẳng thức nghiêm ngặt.

*Nghiệm là điểm giao: x = 7, y = 5 thỏa mãn cả hai phương trình

Sinh các số hạng từ quy tắc từ số hạng sang số hạng và từ vị trí sang số hạng, bao gồm cả các mô hình và sơ đồ (A23). Nhận biết các số tam giác, số vuông và số lập phương cùng các cấp số cộng đơn giản cấp số cộng (A24); phần bổ sung nền tảng thêm dãy số kiểu Fibonacci, dãy số bậc hai và cấp số nhân $ar^n$ ($r$ là một phân số dương); Level cao thêm các dãy số khác/dãy được xác định theo quy nạp và tỷ lệ căn thức. Suy ra số hạng thứ n (A25): tuyến tính $an + b$ (Nền tảng), bậc hai $an^2 + bn + c$ ở mức Cao — đối với $5, 9, 17, 29, 45, \ldots$ the second difference is $4$, so $a = 2$ and the sequence is $2n^2 - 2n + 5$ (kiểm tra $n = 4$: $32 - 8 + 5 = 29$).

• Ký hiệu $ab$, $3y$, $a^2$, $\tfrac ab$; thế vào các công thức khoa học; từ vựng bao gồm đẳng thức (A1–A3).
• Rút gọn các số hạng, ngoặc, thừa số chung, quy tắc lũy thừa; hai nhị thức và $x^2 + bx + c$ (Nền tảng); căn thức và phân thức đại số (Cao) (A4).
• Các công thức chuẩn và chuyển đổi chủ đề (A5); các đẳng thức, lập luận và chứng minh (A6).
• Hàm với đầu vào/đầu ra; hàm ngược và hợp thành với $f$, fg, ký hiệu $f^{-1}$ (A7, Cao).
• Tọa độ, vẽ đồ thị, đường thẳng song song (Nền tảng); phương trình đi qua hai điểm/điểm+độ dốc, đường thẳng vuông góc (Cao) (A8–A9).
• Độ dốc và tung độ gốc theo cả hai chiều (A10); nghiệm, giao điểm, điểm cực trị — bằng cách hoàn thành bình phương ở mức Cao (A11).
• Vẽ nháp đồ thị tuyến tính, bậc hai, bậc ba, nghịch đảo, mũ và lượng giác; phép tịnh tiến/phản xạ; đồ thị thực tế và động học; giải thích độ dốc/diện tích (A12–A15).
• Đường tròn $x^2 + y^2 = r^2$ với độ dốc tiếp tuyến (A16, Cao).
• Phương trình bậc nhất cả hai vế (Q8 neo); phương trình bậc hai bằng cách phân tích thành nhân tử, công thức, hoàn thành bình phương; hệ phương trình tuyến tính và tuyến tính/bậc hai giữ cả hai nghiệm (A17–A19).
• Lặp lại với ký hiệu hậu tố đến độ chính xác yêu cầu (A20); mô hình hóa và phương trình ngữ cảnh (A21); bất phương trình với trục số, ký hiệu tập hợp và miền đồ thị (A22).
• Các loại dãy số bao gồm Fibonacci, bậc hai, cấp số nhân với tỷ lệ căn thức; số hạng thứ n tuyến tính và bậc hai (A23–A25).

Ghi chú biên: Bảng Công thức cung cấp công thức nghiệm bậc hai; câu trả lời lặp lại phải nêu rõ độ chính xác; quy ước đồ thị bất phương trình (nét đứt nghiêm ngặt, nét liền) bao gồm) là bắt buộc. Các ví dụ minh họa trên được điều chỉnh từ đề thi Higher tháng Sáu 2024 (xem bằng chứng đánh giá của meta) hoặc nội dung gốc.